Mostre que se
é uma função par de
, então
e se
é uma função ímpar de
, então
Assim, prove que se
for real e uma função par de
, então
é uma função real e par de
. Além disso, se
for real e uma função ímpar de
, então
é imaginário e uma função ímpar de
.
Passo 1
O enunciado nos dá uma função
e pede duas coisas principais:
- Mostrar que, para
par,
- Mostrar que, para
ímpar,
Além disso, a tarefa pede para concluir as implicações quando
é real:
- se
é real e par, então é real e par em ; - se
é real e ímpar, então é imaginário e ímpar em .
Informações relevantes dadas (ou que usaremos): a transformada de Fourier unilateralmente usualmente definida por
e as propriedades de paridade:
Passo 2
Vou lembrar e explicar dois conceitos que usarei várias vezes (muito importante para a prova):
- Definição de função par/ímpar:
- Uma função
é par se para todo . - Uma função
é ímpar se para todo .
- Fórmula de Euler (para separar exponenciais em cosseno e seno):
Dessas se obtém as identidades
Vou usar essas igualdades para transformar combinações de exponenciais em cosseno ou seno, o que nos dá expressões reais (com
) ou imaginárias (com
).
Passo 3
Começo manipulando a definição da transformada de Fourier, escrevendo a integral em duas partes (negativa e positiva) e fazendo uma mudança de variável no trecho negativo. Isso é um truque padrão e muito útil.
Parto de
Escrevo a integral como soma das partes negativa e positiva:
Na primeira integral faço a mudança de variável
. Quando
vai de
até
,
vai de
até
; a diferencial
. Assim
Renomeando
de volta para
(nome dummy), obtemos a decomposição útil
Agora junte as duas integrais em uma só (mesmo intervalo):
Essa fórmula é válida sempre e é a base para aplicar as condições de paridade.
Passo 4
Caso 1:
é função par, então
. Substituo isso na expressão do passo anterior:
Agora uso a identidade de Euler que escrevi antes:
Portanto
Isso mostra exatamente a primeira fórmula pedida:
quando
é par.
Passo 5
Interpretação e consequências do caso par (didática rápida):
- A integranda
é produto de duas funções reais quando for real, pois é real. Assim, se é real e par, o valor da integral é real; logo é real. - A função
é par em : . Logo
Isso mostra que
é par em
. Concluímos: se
é real e par então
é real e par.
Passo 6
Caso 2:
é função ímpar, então
. Substituo essa relação na expressão do passo 3:
Uso agora a identidade de Euler para a diferença:
Portanto
Isso mostra a segunda fórmula pedida:
quando
é ímpar.
Passo 7
Interpretação e consequências do caso ímpar (didática rápida):
- Se
for real e ímpar, então a integral é um número real (produto de reais e integral real). Multiplicando por gera um número puramente imaginário (da forma vezes real). Logo é imaginário puro. - Verifico a paridade em
: como ,
Mas isso é
, ou seja
Portanto
é ímpar em
. Concluímos: se
é real e ímpar então
é imaginário (puro) e ímpar.