Mostre que se x(t) é uma função par de t, então
X(j \omega)=2 \int_{0}^{\infty} x(t) \cos (\omega t) d t
e se x(t) é uma função ímpar de t, então
X(j \omega)=-2 j \int_{0}^{\infty} x(t) \sin (\omega t) d t
Assim, prove que se x(t) for real e uma função par de t, então X(j \omega) é uma função real e par de \omega. Além disso, se x(t) for real e uma função ímpar de t, então X(j \omega) é imaginário e uma função ímpar de \omega.

Passo 1

O enunciado nos dá uma função x(t) e pede duas coisas principais:
  1. Mostrar que, para x(t) par,
X(j\omega)=2\int_{0}^{\infty} x(t)\cos(\omega t)\,dt.
  1. Mostrar que, para x(t) ímpar,
X(j\omega)=-2j\int_{0}^{\infty} x(t)\sin(\omega t)\,dt.
Além disso, a tarefa pede para concluir as implicações quando x(t) é real:
  • se x(t) é real e par, então X(j\omega) é real e par em \omega;
  • se x(t) é real e ímpar, então X(j\omega) é imaginário e ímpar em \omega.
Informações relevantes dadas (ou que usaremos): a transformada de Fourier unilateralmente usualmente definida por
X(j\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} x(t)\,e^{-j\omega t}\,dt,
e as propriedades de paridade:
\text{par: } x(-t)=x(t),\qquad \text{ímpar: } x(-t)=-x(t).í

Passo 2

Vou lembrar e explicar dois conceitos que usarei várias vezes (muito importante para a prova):
  1. Definição de função par/ímpar:
  • Uma função x(t) é par se \,x(-t)=x(t) para todo t.
  • Uma função x(t) é ímpar se \,x(-t)=-x(t) para todo t.
  1. Fórmula de Euler (para separar exponenciais em cosseno e seno):
e^{j\theta}=\cos\theta + j\sin\theta,\qquad e^{-j\theta}=\cos\theta - j\sin\theta.
Dessas se obtém as identidades
e^{-j\theta}+e^{j\theta}=2\cos\theta,\qquad e^{-j\theta}-e^{j\theta}=-2j\sin\theta.
Vou usar essas igualdades para transformar combinações de exponenciais em cosseno ou seno, o que nos dá expressões reais (com \cos) ou imaginárias (com j\sin).

Passo 3

Começo manipulando a definição da transformada de Fourier, escrevendo a integral em duas partes (negativa e positiva) e fazendo uma mudança de variável no trecho negativo. Isso é um truque padrão e muito útil.
Parto de
X(j\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} x(t)\,e^{-j\omega t}\,dt.
Escrevo a integral como soma das partes negativa e positiva:
X(j\omega)=\int_{-\infty}^{0} x(t)\,e^{-j\omega t}\,dt+\int_{0}^{\infty} x(t)\,e^{-j\omega t}\,dt.
Na primeira integral faço a mudança de variável u=-t. Quando t vai de -\infty até 0, u vai de +\infty até 0; a diferencial dt=-du. Assim
\int_{-\infty}^{0} x(t)\,e^{-j\omega t}\,dt =\int_{\infty}^{0} x(-u)\,e^{-j\omega(-u)}(-du) =\int_{0}^{\infty} x(-u)\,e^{j\omega u}\,du.
Renomeando u de volta para t (nome dummy), obtemos a decomposição útil
X(j\omega)=\int_{0}^{\infty} x(-t)\,e^{j\omega t}\,dt+\int_{0}^{\infty} x(t)\,e^{-j\omega t}\,dt.
Agora junte as duas integrais em uma só (mesmo intervalo):
X(j\omega)=\int_{0}^{\infty}\bigl[ x(t)\,e^{-j\omega t}+x(-t)\,e^{j\omega t}\bigr]\,dt.
Essa fórmula é válida sempre e é a base para aplicar as condições de paridade.

Passo 4

Caso 1: x(t) é função par, então x(-t)=x(t). Substituo isso na expressão do passo anterior:
X(j\omega)=\int_{0}^{\infty}\bigl[ x(t)\,e^{-j\omega t}+x(t)\,e^{j\omega t}\bigr]\,dt =\int_{0}^{\infty} x(t)\bigl(e^{-j\omega t}+e^{j\omega t}\bigr)\,dt.
Agora uso a identidade de Euler que escrevi antes:
e^{-j\omega t}+e^{j\omega t}=2\cos(\omega t).
Portanto
X(j\omega)=\int_{0}^{\infty} x(t)\,2\cos(\omega t)\,dt =2\int_{0}^{\infty} x(t)\cos(\omega t)\,dt.
Isso mostra exatamente a primeira fórmula pedida:
\boxed{\,X(j\omega)=2\int_{0}^{\infty} x(t)\cos(\omega t)\,dt\,}
quando x(t) é par.

Passo 5

Interpretação e consequências do caso par (didática rápida):
  • A integranda x(t)\cos(\omega t) é produto de duas funções reais quando x(t) for real, pois \cos(\omega t) é real. Assim, se x(t) é real e par, o valor da integral é real; logo X(j\omega) é real.
  • A função \cos(\omega t) é par em \omega: \cos(-\omega t)=\cos(\omega t). Logo
X(j(-\omega))=2\int_{0}^{\infty} x(t)\cos(-\omega t)\,dt =2\int_{0}^{\infty} x(t)\cos(\omega t)\,dt =X(j\omega).
Isso mostra que X(j\omega) é par em \omega. Concluímos: se x(t) é real e par então X(j\omega) é real e par.

Passo 6

Caso 2: x(t) é função ímpar, então x(-t)=-x(t). Substituo essa relação na expressão do passo 3:
X(j\omega)=\int_{0}^{\infty}\bigl[ x(t)\,e^{-j\omega t}+(-x(t))\,e^{j\omega t}\bigr]\,dt =\int_{0}^{\infty} x(t)\bigl(e^{-j\omega t}-e^{j\omega t}\bigr)\,dt.
Uso agora a identidade de Euler para a diferença:
e^{-j\omega t}-e^{j\omega t}=-2j\sin(\omega t).
Portanto
X(j\omega)=\int_{0}^{\infty} x(t)\bigl(-2j\sin(\omega t)\bigr)\,dt =-2j\int_{0}^{\infty} x(t)\sin(\omega t)\,dt.
Isso mostra a segunda fórmula pedida:
\boxed{\,X(j\omega)=-2j\int_{0}^{\infty} x(t)\sin(\omega t)\,dt\,}
quando x(t) é ímpar.

Passo 7

Interpretação e consequências do caso ímpar (didática rápida):
  • Se x(t) for real e ímpar, então a integral I(\omega)=\int_{0}^{\infty} x(t)\sin(\omega t)\,dt é um número real (produto de reais e integral real). Multiplicando por -2j gera um número puramente imaginário (da forma j vezes real). Logo X(j\omega) é imaginário puro.
  • Verifico a paridade em \omega: como \sin(-\omega t)=-\sin(\omega t),
X(j(-\omega))=-2j\int_{0}^{\infty} x(t)\sin(-\omega t)\,dt =-2j\int_{0}^{\infty} x(t)(-\,\sin(\omega t))\,dt =2j\int_{0}^{\infty} x(t)\sin(\omega t)\,dt.
Mas isso é -\bigl(-2j\int_{0}^{\infty} x(t)\sin(\omega t)\,dt\bigr), ou seja
X(j(-\omega))=-X(j\omega).
Portanto X(j\omega) é ímpar em \omega. Concluímos: se x(t) é real e ímpar então X(j\omega) é imaginário (puro) e ímpar.

Resposta

X(j\omega)=2\displaystyle\int_{0}^{\infty} x(t)\cos(\omega t)\,dt quando x(t) é par.\n X(j\omega)=-2j\displaystyle\int_{0}^{\infty} x(t)\sin(\omega t)\,dt quando x(t) é ímpar.\nSe x(t) for real e par, então X(j\omega) é real e par.\nSe x(t) for real e ímpar, então X(j\omega) é imaginário (puro) e ímpar.

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