Pedro quer enviar uma carta a Marina. A probabilidade de que Pedro escreva a carta é de 0,8 . A probabilidade de que o correio não a perca é de 0,9 , A probabilidade de que o carteiro a entregue é de 0,9 . Dado que Marina não recebeu a carta, qual a probabilidade condicional que de que Pedro não a tenha escrito? R: 0,5682 .

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma probabilidade condicional. Informações fornecidas:
  • A probabilidade de que Pedro escreva a carta é P(W)=0,8.
  • A probabilidade de que o correio não a perca é P(L)=0,9.
  • A probabilidade de que o carteiro a entregue é P(E)=0,9.
  • Sabemos que Marina não recebeu a carta. A pergunta é: qual é a probabilidade condicional de que Pedro não a tenha escrito, ou seja, P(\overline{W}\mid \overline{R}), onde \overline{R} significa “Marina não recebeu a carta”.

Passo 2

Definimos os eventos com clareza (isso ajuda a não se confundir na prova):
  • W: “Pedro escreveu a carta”.
  • \overline{W}: “Pedro não escreveu a carta”.
  • L: “o correio não a perdeu”.
  • E: “o carteiro a entregou”.
  • R: “Marina recebeu a carta”.
    Vamos usar a ideia de que, para Marina receber a carta, é necessário que Pedro tenha escrito ( W) e que, depois disso, o correio não a perca ( L) e o carteiro a entregue ( E). Assim, quando Pedro escreveu, a probabilidade de recepção é a probabilidade dos dois passos (não perder e entregar) acontecerem.

Passo 3

Explico a regra de multiplicação para eventos sequenciais (cadeia de operações): se dois passos são independentes entre si ou se a probabilidade do segundo está condicionada ao primeiro de forma dada no enunciado, a probabilidade de ambos ocorrerem é o produto das probabilidades. Aqui interpretamos que, dado que a carta foi escrita, a probabilidade de que ela seja efetivamente recebida é
P(R\mid W)=P(L)\cdot P(E).
Substituindo os valores fornecidos:
P(R\mid W)=0,9\cdot 0,9=0,81.

Passo 4

Agora calculamos a probabilidade de Marina receber a carta sem condicionamento usando a regra da probabilidade total (produto da probabilidade de escrita pela probabilidade de recepção dado que foi escrita):
P(R)=P(W)\cdot P(R\mid W).
Substituindo os números:
P(R)=0,8\cdot 0,81.
Faço as contas passo a passo: primeiro 0,9\cdot 0,9=0,81, depois 0,8\cdot 0,81=0,648. Logo
P(R)=0,648.

Passo 5

Como queremos trabalhar com “Marina não recebeu”, calculamos o complementar:
P(\overline{R})=1-P(R)=1-0,648=0,352.
Também calculamos a probabilidade de que Pedro não tenha escrito:
P(\overline{W})=1-P(W)=1-0,8=0,2.

Passo 6

Observação importante que simplifica muito: se Pedro não escreveu ( \overline{W}), então certamente Marina não recebeu a carta, ou seja, \overline{W}\subseteq\overline{R}. Portanto
P(\overline{W}\cap \overline{R})=P(\overline{W})=0,2.
Agora aplicamos a definição de probabilidade condicional:
P(\overline{W}\mid \overline{R})=\frac{P(\overline{W}\cap \overline{R})}{P(\overline{R})}=\frac{P(\overline{W})}{P(\overline{R})}.

Passo 7

Substituímos os valores numéricos e fazemos a divisão:
P(\overline{W}\mid \overline{R})=\frac{0,2}{0,352}=0,5681818\ldots
Arredondando para quatro casas decimais (como na resposta dada), obtemos
P(\overline{W}\mid \overline{R})\approx 0,5682.

Resposta

0,5682

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