Pedro quer enviar uma carta a Marina. A probabilidade de que Pedro escreva a carta é de 0,8 . A probabilidade de que o correio não a perca é de 0,9 , A probabilidade de que o carteiro a entregue é de 0,9 . Dado que Marina não recebeu a carta, qual a probabilidade condicional que de que Pedro não a tenha escrito? R: 0,5682 .
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma probabilidade condicional. Informações fornecidas:
A probabilidade de que Pedro escreva a carta é P(W)=0,8.
A probabilidade de que o correio não a perca é P(L)=0,9.
A probabilidade de que o carteiro a entregue é P(E)=0,9.
Sabemos que Marina não recebeu a carta. A pergunta é: qual é a probabilidade condicional de que Pedro não a tenha escrito, ou seja, P(\overline{W}\mid \overline{R}), onde \overline{R} significa “Marina não recebeu a carta”.
Passo 2
Definimos os eventos com clareza (isso ajuda a não se confundir na prova):
W: “Pedro escreveu a carta”.
\overline{W}: “Pedro não escreveu a carta”.
L: “o correio não a perdeu”.
E: “o carteiro a entregou”.
R: “Marina recebeu a carta”.
Vamos usar a ideia de que, para Marina receber a carta, é necessário que Pedro tenha escrito (W) e que, depois disso, o correio não a perca (L) e o carteiro a entregue (E). Assim, quando Pedro escreveu, a probabilidade de recepção é a probabilidade dos dois passos (não perder e entregar) acontecerem.
Passo 3
Explico a regra de multiplicação para eventos sequenciais (cadeia de operações): se dois passos são independentes entre si ou se a probabilidade do segundo está condicionada ao primeiro de forma dada no enunciado, a probabilidade de ambos ocorrerem é o produto das probabilidades. Aqui interpretamos que, dado que a carta foi escrita, a probabilidade de que ela seja efetivamente recebida é
P(R\mid W)=P(L)\cdot P(E).
Substituindo os valores fornecidos:
P(R\mid W)=0,9\cdot 0,9=0,81.
Passo 4
Agora calculamos a probabilidade de Marina receber a carta sem condicionamento usando a regra da probabilidade total (produto da probabilidade de escrita pela probabilidade de recepção dado que foi escrita):
P(R)=P(W)\cdot P(R\mid W).
Substituindo os números:
P(R)=0,8\cdot 0,81.
Faço as contas passo a passo: primeiro 0,9\cdot 0,9=0,81, depois 0,8\cdot 0,81=0,648. Logo
P(R)=0,648.
Passo 5
Como queremos trabalhar com “Marina não recebeu”, calculamos o complementar:
P(\overline{R})=1-P(R)=1-0,648=0,352.
Também calculamos a probabilidade de que Pedro não tenha escrito:
P(\overline{W})=1-P(W)=1-0,8=0,2.
Passo 6
Observação importante que simplifica muito: se Pedro não escreveu (\overline{W}), então certamente Marina não recebeu a carta, ou seja, \overline{W}\subseteq\overline{R}. Portanto