Determine todos os polinômios de grau 2 irredutíveis em \mathbb{Z}_{5}[x].

Passo 1

O que o exercício pede: determinar todos os polinômios de grau 2 que são irredutíveis em \mathbb{Z}_{5}[x].
Informações fornecidas e relevantes:
  • O anel de coeficientes é \mathbb{Z}_{5}, ou seja, os coeficientes são 0,1,2,3,4 com operações módulo 5.
  • Procuramos polinômios de grau 2 que não se fatoram como produto de polinômios de grau 1 em \mathbb{Z}_{5}[x].
  • Não há outras restrições no enunciado (por exemplo, se pedem apenas monicos); portanto devemos listar todos os polinômios de grau 2 que são irredutíveis.

Passo 2

Conceito chave (explicação didática): quando um polinômio de grau 2 com coeficientes em um corpo (aqui \mathbb{Z}_5 é um corpo) é irredutível?
  • Um polinômio de grau 2 é irredutível sobre um corpo se, e somente se, ele não tem raiz no corpo. Isso porque qualquer fatoração não-trivial de um quadrático teria que ser produto de dois polinômios lineares, e cada polinomial linear corresponde a uma raiz.
  • Assim, para decidir se f(x)=ax^{2}+bx+c (com a\neq0) é irredutível em \mathbb{Z}_5[x], basta verificar se não existe r\in\mathbb{Z}_5 tal que f(r)=0.
Vou usar uma forma prática: trabalhar primeiro com polinômios monicos (tem forma x^{2}+bx+c). Isso facilita porque multiplicar um polinômio por uma unidade de \mathbb{Z}_5 (ou seja, por 2,3 ou 4) não altera o fato de ser irredutível. Portanto basta achar todos os monicos irredutíveis; os demais (não monicos) são apenas múltiplos por 1,2,3,4.

Passo 3

Ferramenta prática (discriminante): para x^{2}+bx+c as raízes, quando existirem, vêm da fórmula quadrática; a quantidade aparece a partir do discriminante
\Delta=b^{2}-4c.
Num corpo, o polinômio x^{2}+bx+c tem raízes em \mathbb{Z}_5 exatamente quando \Delta é um quadrado (resíduo quadrático) em \mathbb{Z}_5. Logo:
  • se \Delta é um quadrado em \mathbb{Z}_5 (incluindo 0), então o polinômio é redutível;
  • se \Delta não é um quadrado (isto é, é um não-resíduo), então o polinômio é irredutível.

Passo 4

Quadrados em \mathbb{Z}_5: calculemos os quadrados dos elementos 0,1,2,3,4 módulo 5:
0^{2}=0,\quad 1^{2}=1,\quad 2^{2}=4,\quad 3^{2}=9\equiv4,\quad 4^{2}=16\equiv1\pmod{5}.
Portanto os resíduos quadráticos em \mathbb{Z}_5 são exatamente \{0,1,4\}. Os não-resíduos são \{2,3\}.
Conclusão prática: para x^{2}+bx+c ser irredutível precisamos que \Delta=b^{2}-4c seja igual a 2 ou 3 em \mathbb{Z}_5.

Passo 5

Estratégia de enumeração: vamos percorrer b\in\{0,1,2,3,4\}. Para cada b e para cada possível \Delta\in\{2,3\}, resolver b^{2}-4c\equiv\Delta\pmod{5} para c. Note que multiplicar por 4^{-1} é equivalente a multiplicar por 4 porque 4^{-1}\equiv4\pmod{5} (pois 4\cdot4=16\equiv1).
Calculamos caso a caso:
  • Para b=0 temos b^{2}=0.
    • Se \Delta=2: 0-4c\equiv2\Rightarrow -4c\equiv2\Rightarrow 4c\equiv-2\equiv3\Rightarrow c\equiv4\cdot3\equiv12\equiv2. Portanto x^{2}+0x+2 é irreducível.
    • Se \Delta=3: 0-4c\equiv3\Rightarrow 4c\equiv-3\equiv2\Rightarrow c\equiv4\cdot2\equiv8\equiv3. Portanto x^{2}+3 é irreducível.
  • Para b=1 temos b^{2}=1.
    • Se \Delta=2: 1-4c\equiv2\Rightarrow -4c\equiv1\Rightarrow 4c\equiv-1\equiv4\Rightarrow c\equiv4\cdot4\equiv16\equiv1. Logo x^{2}+x+1 é irreducível.
    • Se \Delta=3: 1-4c\equiv3\Rightarrow -4c\equiv2\Rightarrow 4c\equiv-2\equiv3\Rightarrow c\equiv4\cdot3\equiv12\equiv2. Logo x^{2}+x+2 é irreducível.
  • Para b=2 temos b^{2}=4.
    • Se \Delta=2: 4-4c\equiv2\Rightarrow -4c\equiv-2\Rightarrow 4c\equiv2\Rightarrow c\equiv4\cdot2\equiv8\equiv3. Logo x^{2}+2x+3 é irreducível.
    • Se \Delta=3: 4-4c\equiv3\Rightarrow -4c\equiv-1\Rightarrow 4c\equiv1\Rightarrow c\equiv4\cdot1\equiv4. Logo x^{2}+2x+4 é irreducível.
  • Para b=3 temos b^{2}=9\equiv4 (mesmo caso que b=2).
    • Se \Delta=2: como antes c\equiv3. Logo x^{2}+3x+3 é irreducível.
    • Se \Delta=3: como antes c\equiv4. Logo x^{2}+3x+4 é irreducível.
  • Para b=4 temos b^{2}=16\equiv1 (mesmo caso que b=1).
    • Se \Delta=2: c\equiv1. Logo x^{2}+4x+1 é irreducível.
    • Se \Delta=3: c\equiv2. Logo x^{2}+4x+2 é irreducível.

Passo 6

Lista dos polinômios monicos de grau 2 irredutíveis que encontramos (cada um é x^{2}+bx+c com \Delta\in\{2,3\}):
x^{2}+2,
x^{2}+3,
x^{2}+x+1,
x^{2}+x+2,
x^{2}+2x+3,
x^{2}+2x+4,
x^{2}+3x+3,
x^{2}+3x+4,
x^{2}+4x+1,
x^{2}+4x+2.
Observação final: qualquer polinômio de grau 2 em \mathbb{Z}_5[x] que seja irredutível é uma múltiplo por uma unidade de algum desses polinômios monicos. As unidades de \mathbb{Z}_5 são 1,2,3,4; logo os polinômios não-mônicos irredutíveis são exatamente 2 vezes, 3 vezes e 4 vezes cada um dos monicos acima (multiplicação coeficiente a coeficiente no anel \mathbb{Z}_5[x]).

Resposta

x^{2}+2
x^{2}+3
x^{2}+x+1
x^{2}+x+2
x^{2}+2x+3
x^{2}+2x+4
x^{2}+3x+3
x^{2}+3x+4
x^{2}+4x+1
x^{2}+4x+2
E todos os outros polinômios de grau 2 irredutíveis em \mathbb{Z}_5[x] são exatamente os múltiplos desses por 2,3,4 em \mathbb{Z}_5.

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