Determine todos os polinômios de grau 2 irredutíveis em
.
Passo 1
O que o exercício pede: determinar todos os polinômios de grau 2 que são irredutíveis em
.
Informações fornecidas e relevantes:
- O anel de coeficientes é
, ou seja, os coeficientes são com operações módulo . - Procuramos polinômios de grau
que não se fatoram como produto de polinômios de grau em . - Não há outras restrições no enunciado (por exemplo, se pedem apenas monicos); portanto devemos listar todos os polinômios de grau
que são irredutíveis.
Passo 2
Conceito chave (explicação didática): quando um polinômio de grau
com coeficientes em um corpo (aqui
é um corpo) é irredutível?
- Um polinômio de grau
é irredutível sobre um corpo se, e somente se, ele não tem raiz no corpo. Isso porque qualquer fatoração não-trivial de um quadrático teria que ser produto de dois polinômios lineares, e cada polinomial linear corresponde a uma raiz. - Assim, para decidir se
(com ) é irredutível em , basta verificar se não existe tal que .
Vou usar uma forma prática: trabalhar primeiro com polinômios monicos (tem forma
). Isso facilita porque multiplicar um polinômio por uma unidade de
(ou seja, por
ou
) não altera o fato de ser irredutível. Portanto basta achar todos os monicos irredutíveis; os demais (não monicos) são apenas múltiplos por
.
Passo 3
Ferramenta prática (discriminante): para
as raízes, quando existirem, vêm da fórmula quadrática; a quantidade aparece a partir do discriminante
Num corpo, o polinômio
tem raízes em
exatamente quando
é um quadrado (resíduo quadrático) em
. Logo:
- se
é um quadrado em (incluindo ), então o polinômio é redutível; - se
não é um quadrado (isto é, é um não-resíduo), então o polinômio é irredutível.
Passo 4
Quadrados em
: calculemos os quadrados dos elementos
módulo
:
Portanto os resíduos quadráticos em
são exatamente
. Os não-resíduos são
.
Conclusão prática: para
ser irredutível precisamos que
seja igual a
ou
em
.
Passo 5
Estratégia de enumeração: vamos percorrer
. Para cada
e para cada possível
, resolver
para
. Note que multiplicar por
é equivalente a multiplicar por
porque
(pois
).
Calculamos caso a caso:
-
Para
temos . - Se
: Portanto é irreducível. - Se
: Portanto é irreducível.
- Se
-
Para
temos . - Se
: Logo é irreducível. - Se
: Logo é irreducível.
- Se
-
Para
temos . - Se
: Logo é irreducível. - Se
: Logo é irreducível.
- Se
-
Para
temos (mesmo caso que ). - Se
: como antes . Logo é irreducível. - Se
: como antes . Logo é irreducível.
- Se
-
Para
temos (mesmo caso que ). - Se
: . Logo é irreducível. - Se
: . Logo é irreducível.
- Se
Passo 6
Lista dos polinômios monicos de grau
irredutíveis que encontramos (cada um é
com
):
Observação final: qualquer polinômio de grau
em
que seja irredutível é uma múltiplo por uma unidade de algum desses polinômios monicos. As unidades de
são
; logo os polinômios não-mônicos irredutíveis são exatamente
vezes,
vezes e
vezes cada um dos monicos acima (multiplicação coeficiente a coeficiente no anel
).
Resposta
E todos os outros polinômios de grau
irredutíveis em
são exatamente os múltiplos desses por
em
.