a) Mostre que se X e Y sāo v.a independentes então M_{X+Y}(t)=M_{X}(t) \cdot M_{Y}(t)
b) Seja X uma variável aleatória discreta com função geradora de momentos dada por
M_{X}(t)=e^{2 t} \times e^{-t}
sendo t um número real. Calcule o valor esperado e a variância da v.a X .

Passo 1

O enunciado tem duas partes:
  1. (a) Pede para mostrar que, se X e Y são variáveis aleatórias independentes, então
M_{X+Y}(t)=M_{X}(t)\cdot M_{Y}(t).
  1. (b) Dá uma variável aleatória discreta X com função geradora de momentos
M_{X}(t)=e^{2t}\times e^{-t}
para todo t\in\mathbb{R}, e pede o valor esperado E[X] e a variância \operatorname{Var}(X).
Informações relevantes dadas: independência de X e Y na parte (a); forma explícita de M_X(t) na parte (b). A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Primeiro, recorda a definição e uma propriedade útil da função geradora de momentos (MGF). A definição é
M_X(t)=\mathbb{E}\big[e^{tX}\big],
onde \mathbb{E}[\cdot] é esperança. A MGF serve para obter momentos porque, sob condições de existência, as derivadas de M_X dão momentos ponderados:
M_X'(t)=\mathbb{E}\big[X e^{tX}\big],\qquad M_X''(t)=\mathbb{E}\big[X^2 e^{tX}\big],
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\mathbb{E}[X]=M_X'(0),\qquad \mathbb{E}[X^2]=M_X''(0).
Vou usar essa definição e a propriedade de independência para provar (a).

Passo 3

Mostro (a) de forma direta usando a definição e a independência. Pela definição,
M_{X+Y}(t)=\mathbb{E}\big[e^{t(X+Y)}\big]=\mathbb{E}\big[e^{tX}e^{tY}\big].
Agora uso a propriedade-chave da independência: se X e Y são independentes, então para quaisquer funções g e h com expectativas bem definidas vale
\mathbb{E}\big[g(X)h(Y)\big]=\mathbb{E}\big[g(X)\big]\cdot\mathbb{E}\big[h(Y)\big].
Aplicando isso com g(x)=e^{t x} e h(y)=e^{t y} obtemos
\mathbb{E}\big[e^{tX}e^{tY}\big]=\mathbb{E}\big[e^{tX}\big]\cdot\mathbb{E}\big[e^{tY}\big]=M_X(t)\cdot M_Y(t).
Portanto concluímos
M_{X+Y}(t)=M_X(t)\cdot M_Y(t),
que é exatamente o que se pedia.

Passo 4

Agora a parte (b). Primeiro simplifico a MGF dada:
M_X(t)=e^{2t}\times e^{-t}=e^{2t- t}=e^{t}.
Portanto a função geradora de momentos é M_X(t)=e^{t} para todo t\in\mathbb{R}.

Passo 5

Uso as fórmulas para extrair momentos a partir da MGF. Calculo a primeira derivada:
M_X'(t)=\frac{d}{dt}e^{t}=e^{t}.
Avalio em t=0 para obter a esperança:
\mathbb{E}[X]=M_X'(0)=e^{0}=1.
Expliquei antes por que isso funciona: M_X'(t)=\mathbb{E}[X e^{tX}], então em t=0 resta \mathbb{E}[X].

Passo 6

Calculo a segunda derivada para obter \mathbb{E}[X^2]:
M_X''(t)=\frac{d}{dt}M_X'(t)=\frac{d}{dt}e^{t}=e^{t}.
Assim
\mathbb{E}[X^2]=M_X''(0)=e^{0}=1.
Agora a variância é
\operatorname{Var}(X)=\mathbb{E}[X^2]-\big(\mathbb{E}[X]\big)^2=1-1^2=0.
Uma observação didática: variância zero indica que X é praticamente determinística; neste caso M_X(t)=e^{t} é a MGF da variável constante igual a 1 (isto é, P(X=1)=1), o que bate com \mathbb{E}[X]=1 e \operatorname{Var}(X)=0.

Resposta

a) M_{X+Y}(t)=M_{X}(t)\cdot M_{Y}(t)
b) \mathbb{E}[X]=1
\operatorname{Var}(X)=0

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