a) Mostre que se X e Y sāo v.a independentes então
b) Seja X uma variável aleatória discreta com função geradora de momentos dada por
sendo t um número real. Calcule o valor esperado e a variância da v.a X .
b) Seja X uma variável aleatória discreta com função geradora de momentos dada por
Passo 1
O enunciado tem duas partes:
- (a) Pede para mostrar que, se
e são variáveis aleatórias independentes, então
- (b) Dá uma variável aleatória discreta
com função geradora de momentos
para todo
, e pede o valor esperado
e a variância
.
Informações relevantes dadas: independência de
e
na parte (a); forma explícita de
na parte (b). A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Primeiro, recorda a definição e uma propriedade útil da função geradora de momentos (MGF). A definição é
onde
é esperança. A MGF serve para obter momentos porque, sob condições de existência, as derivadas de
dão momentos ponderados:
logo
Vou usar essa definição e a propriedade de independência para provar (a).
Passo 3
Mostro (a) de forma direta usando a definição e a independência. Pela definição,
Agora uso a propriedade-chave da independência: se
e
são independentes, então para quaisquer funções
e
com expectativas bem definidas vale
Aplicando isso com
e
obtemos
Portanto concluímos
que é exatamente o que se pedia.
Passo 4
Agora a parte (b). Primeiro simplifico a MGF dada:
Portanto a função geradora de momentos é
para todo
.
Passo 5
Uso as fórmulas para extrair momentos a partir da MGF. Calculo a primeira derivada:
Avalio em
para obter a esperança:
Expliquei antes por que isso funciona:
, então em
resta
.
Passo 6
Calculo a segunda derivada para obter
:
Assim
Agora a variância é
Uma observação didática: variância zero indica que
é praticamente determinística; neste caso
é a MGF da variável constante igual a
(isto é,
), o que bate com
e
.
Resposta
a)
b)