Você leva sua cadela ao veterinário e descobre através de um exame de ultrasonografia que ela está grávida com uma ninhada de 8 filhotes.
Qual é a probabilidade de que existam um número igual de machos e fêmeas?
Qual é a probabilidade de que existam um número igual de machos e fêmeas?
Passo 1
O enunciado dá que há uma ninhada com
filhotes. Pergunta: qual é a probabilidade de existirem um número igual de machos e fêmeas nessa ninhada?
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- Número total de filhotes:
. - Queremos exatamente o mesmo número de machos e fêmeas, ou seja,
machos e fêmeas. - Não há outras informações adicionais (assumiremos o caso padrão em genética/estatística onde cada filhote tem probabilidade igual de ser macho ou fêmea e a situação de cada filhote é independente das outras).
Passo 2
Modelagem do problema e justificativa (explicação didática):
Vamos modelar cada filhote como um ensaio que pode resultar em “macho” (sucesso) ou “fêmea” (fracasso). Assumimos que a probabilidade de um filhote ser macho é e que os filhotes são independentes entre si (a existência de um macho não altera a probabilidade do outro ser macho). Nesse contexto, o número de machos
em
filhotes segue a distribuição binomial.
Vamos modelar cada filhote como um ensaio que pode resultar em “macho” (sucesso) ou “fêmea” (fracasso). Assumimos que a probabilidade de um filhote ser macho é
A fórmula da probabilidade binomial é:
onde:
-
é o número total de ensaios (aqui ); -
é o número de sucessos desejados (aqui ); -
é a probabilidade de sucesso em cada ensaio (aqui ); -
é o coeficiente binomial, que conta de quantas maneiras diferentes podemos escolher quais ensaios dentre serão sucessos.
Explicação do coeficiente binomial
: ele dá o número de combinações diferentes de escolher
elementos entre
sem considerar ordem, e é dado por
Aqui o ponto é: para termos exatamente
machos entre
filhotes, precisamos contar todas as maneiras de escolher quais
posições (entre as 8) serão machos — é isso que
faz.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso caso:
,
,
. Substituindo na fórmula:
Como
, isso simplifica para
Passo 4
Calcular o coeficiente binomial
:
Vamos desenvolver passo a passo o fatorial para calcular sem calculadora (cancelando termos):
então
Podemos simplificar fator a fator:
Continuando:
Logo
.
Passo 5
Calcular
:
Agora multiplicamos pelo coeficiente binomial:
Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por
:
Passo 6
Interpretando o resultado e convertendo em decimal/porcentagem:
o que equivale a aproximadamente
. Ou seja, a chance de exatamente
machos e
fêmeas numa ninhada de
filhotes, sob as suposições feitas, é cerca de
.
Dica prática rápida para provas: para par, a probabilidade de metade serem machos e metade fêmeas é
; memorize essa forma quando
.
Dica prática rápida para provas: para