Você leva sua cadela ao veterinário e descobre através de um exame de ultrasonografia que ela está grávida com uma ninhada de 8 filhotes.
Qual é a probabilidade de que existam um número igual de machos e fêmeas?

Passo 1

O enunciado dá que há uma ninhada com 8 filhotes. Pergunta: qual é a probabilidade de existirem um número igual de machos e fêmeas nessa ninhada?
Informações relevantes:
  • Número total de filhotes: 8.
  • Queremos exatamente o mesmo número de machos e fêmeas, ou seja, 4 machos e 4 fêmeas.
  • Não há outras informações adicionais (assumiremos o caso padrão em genética/estatística onde cada filhote tem probabilidade igual de ser macho ou fêmea e a situação de cada filhote é independente das outras).

Passo 2

Modelagem do problema e justificativa (explicação didática):
Vamos modelar cada filhote como um ensaio que pode resultar em “macho” (sucesso) ou “fêmea” (fracasso). Assumimos que a probabilidade de um filhote ser macho é p=\tfrac{1}{2} e que os filhotes são independentes entre si (a existência de um macho não altera a probabilidade do outro ser macho). Nesse contexto, o número de machos X em n filhotes segue a distribuição binomial.
A fórmula da probabilidade binomial é:
P(X=k)=\binom{n}{k} p^k (1-p)^{\,n-k}
onde:
  • n é o número total de ensaios (aqui n=8);
  • k é o número de sucessos desejados (aqui k=4);
  • p é a probabilidade de sucesso em cada ensaio (aqui p=\tfrac{1}{2});
  • \binom{n}{k} é o coeficiente binomial, que conta de quantas maneiras diferentes podemos escolher quais k ensaios dentre n serão sucessos.
Explicação do coeficiente binomial \binom{n}{k}: ele dá o número de combinações diferentes de escolher k elementos entre n sem considerar ordem, e é dado por
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}.
Aqui o ponto é: para termos exatamente 4 machos entre 8 filhotes, precisamos contar todas as maneiras de escolher quais 4 posições (entre as 8) serão machos — é isso que \binom{8}{4} faz.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso: n=8, k=4, p=\tfrac{1}{2}. Substituindo na fórmula:
P(X=4)=\binom{8}{4}\left(\tfrac{1}{2}\right)^4\left(1-\tfrac{1}{2}\right)^{8-4}.
Como 1-\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2}, isso simplifica para
P(X=4)=\binom{8}{4}\left(\tfrac{1}{2}\right)^8.

Passo 4

Calcular o coeficiente binomial \binom{8}{4}:
\binom{8}{4}=\frac{8!}{4!\,4!}.
Vamos desenvolver passo a passo o fatorial para calcular sem calculadora (cancelando termos):
8!=8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1, \quad 4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24,
então
\binom{8}{4}=\frac{8\cdot7\cdot6\cdot5}{4\cdot3\cdot2\cdot1}.
Podemos simplificar fator a fator:
\frac{8\cdot7\cdot6\cdot5}{4\cdot3\cdot2\cdot1} = \frac{(8/4)\cdot(7/1)\cdot(6/3)\cdot(5/2)}{1} = 2\cdot7\cdot2\cdot\frac{5}{2}.
Continuando:
2\cdot7\cdot2\cdot\frac{5}{2}= (2\cdot2)\cdot7\cdot\frac{5}{2}=4\cdot7\cdot\frac{5}{2}=28\cdot\frac{5}{2}=14\cdot5=70.
Logo \binom{8}{4}=70.

Passo 5

Calcular \left(\tfrac{1}{2}\right)^8:
\left(\tfrac{1}{2}\right)^8=\tfrac{1}{2^8}=\tfrac{1}{256}.
Agora multiplicamos pelo coeficiente binomial:
P(X=4)=70\cdot\tfrac{1}{256}=\tfrac{70}{256}.
Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por 2:
\tfrac{70}{256}=\tfrac{35}{128}.

Passo 6

Interpretando o resultado e convertendo em decimal/porcentagem:
\tfrac{35}{128}\approx 0,2734375,
o que equivale a aproximadamente 27,34375\%. Ou seja, a chance de exatamente 4 machos e 4 fêmeas numa ninhada de 8 filhotes, sob as suposições feitas, é cerca de 27,34\%.
Dica prática rápida para provas: para n par, a probabilidade de metade serem machos e metade fêmeas é \binom{n}{n/2}2^{-n}; memorize essa forma quando p=\tfrac{1}{2}.

Resposta

\tfrac{35}{128}\approx 0,2734375

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