Questão 4. Cinco números distintos são aleatoriamente distribuídos entre jogadores numerados de 1 a 5. Sempre que dois jogadores comparam seus números aquele com maior número é declarado vencedor. Inicialmente, os jogadores 1 e 3 comparam seus números. O vencedor então compara seu número com aquele do jogador 3 , e assim por diante. Suponha que
seja a v.a que conta o número de vezes que o jogador 1 é vencedor. Determine
.
Passo 1
O enunciado (corrigindo uma provável tipografia) diz: cinco números distintos são distribuídos aleatoriamente entre os jogadores numerados de
a
. Inicialmente os jogadores
e
comparam seus números; o vencedor então compara seu número com o do jogador
; o vencedor desse confronto compara com o jogador
; e finalmente o vencedor compara com o jogador
. Seja
a variável aleatória que conta o número de vezes que o jogador
é vencedor ao longo desse processo.
O que a questão pede: determinar para
.
O que a questão pede: determinar
Informações relevantes dadas:
- Existem
números distintos; a atribuição aos jogadores é aleatória, logo todas as permutações são igualmente prováveis. - A sequência de confrontos é linear:
vs , vencedor vs , vencedor vs , vencedor vs . -
conta quantas vezes o jogador vence (pode ser até ). - Não há empates (todos os números são distintos).
Passo 2
Idéia do modelo (sem usar linguagem técnica complexa): o que decide quantas vezes o jogador
vence é a posição relativa do número dele em relação aos outros quatro números e a ordem em que ele encontra adversários. Uma forma simples de organizar isso é olhar para o posto (rank) do número do jogador
entre os cinco números.
Definimos a variável auxiliar
: o rank de
entre os cinco números, sendo
o menor número e
o maior. Como a distribuição é aleatória,
Explicação didática: pensar em
é como contar quantos jogadores têm números menores que o do jogador
. Se
, por exemplo, isso significa que há
jogadores com números menores e
com número maior.
Passo 3
Relação entre
e o número máximo de vitórias de
. Se
então:
- existem
jogadores com números menores que (chamarei de “smalls”), - e
jogadores com números maiores que (chamarei de “larges”).
Observações concretas:
- Se
( ), ninguém tem número menor, então o jogador perde já no primeiro confronto e com probabilidade . - Se
( ), ninguém tem número maior, então o jogador vence todos os confrontos e com probabilidade . - Em geral, o jogador
só pode vencer no máximo partidas (não há mais do que adversários com número menor). Portanto, dado temos .
Passo 4
Como calcular
(explicação passo a passo e intuitiva).
Fixe
e, portanto,
e
. Olhe a sequência de adversários que o jogador
enfrenta: são os jogadores
, em ordem. Entre esses quatro adversários existem
que são “smalls” (menores que
) e
que são “larges” (maiores que
). A variável
conta quantos “smalls” aparecem consecutivamente no começo dessa sequência antes de aparecer a primeira “large”. Assim:
- Se a primeira pessoa encontrada já for uma “large”, então
. - Se as primeiras
pessoas forem “smalls” e a -ésima for a primeira “large”, então . - Se não houver nenhuma “large” (isto é,
), então com probabilidade .
Como os quatro adversários estão em ordem aleatória (todas as permutações igualmente prováveis), a probabilidade condicional é dada pela regra de multiplicação de probabilidades sem reposição:
para
quando
. (Interpretação: a probabilidade dos primeiros
serem “smalls” multiplicada pela probabilidade de a próxima ser “large”.) Para o caso
temos
.
Passo 5
Calculemos explicitamente
para cada
.
-
: então , . Não há “smalls”, logo -
: então , . Possíveis . -
: , . Possíveis .
(Confere:
.)
-
: , . Possíveis .
(Todos iguais a
porque há exatamente uma “large” entre três “smalls”.)
-
: , . Não há “larges”, logo
Passo 6
Agora usamos a fórmula de probabilidade total:
pois
para todo
.
Calculemos cada
:
-
Para
: Logo -
Para
: Logo -
Para
: Logo -
Para
: Logo -
Para
: Logo
(Faz uma checagem rápida:
.)