Questão 4. Cinco números distintos são aleatoriamente distribuídos entre jogadores numerados de 1 a 5. Sempre que dois jogadores comparam seus números aquele com maior número é declarado vencedor. Inicialmente, os jogadores 1 e 3 comparam seus números. O vencedor então compara seu número com aquele do jogador 3 , e assim por diante. Suponha que X seja a v.a que conta o número de vezes que o jogador 1 é vencedor. Determine \mathbb{P}[X=i], i=0,1,2,3,4.

Passo 1

O enunciado (corrigindo uma provável tipografia) diz: cinco números distintos são distribuídos aleatoriamente entre os jogadores numerados de 1 a 5. Inicialmente os jogadores 1 e 2 comparam seus números; o vencedor então compara seu número com o do jogador 3; o vencedor desse confronto compara com o jogador 4; e finalmente o vencedor compara com o jogador 5. Seja X a variável aleatória que conta o número de vezes que o jogador 1 é vencedor ao longo desse processo.
O que a questão pede: determinar \mathbb{P}[X=i] para i=0,1,2,3,4.
Informações relevantes dadas:
  • Existem 5 números distintos; a atribuição aos jogadores é aleatória, logo todas as permutações são igualmente prováveis.
  • A sequência de confrontos é linear: 1 vs 2, vencedor vs 3, vencedor vs 4, vencedor vs 5.
  • X conta quantas vezes o jogador 1 vence (pode ser 0 até 4).
  • Não há empates (todos os números são distintos).

Passo 2

Idéia do modelo (sem usar linguagem técnica complexa): o que decide quantas vezes o jogador 1 vence é a posição relativa do número dele em relação aos outros quatro números e a ordem em que ele encontra adversários. Uma forma simples de organizar isso é olhar para o posto (rank) do número do jogador 1 entre os cinco números.
Definimos a variável auxiliar R: o rank de V_1 entre os cinco números, sendo \,R=1 o menor número e \,R=5 o maior. Como a distribuição é aleatória,
\mathbb{P}[R=r]=\frac{1}{5},\qquad r=1,2,3,4,5.
Explicação didática: pensar em R é como contar quantos jogadores têm números menores que o do jogador 1. Se R=4, por exemplo, isso significa que há 3 jogadores com números menores e 1 com número maior.

Passo 3

Relação entre R e o número máximo de vitórias de 1. Se R=r então:
  • existem S=r-1 jogadores com números menores que V_1 (chamarei de “smalls”),
  • e L=5-r jogadores com números maiores que V_1 (chamarei de “larges”).
Observações concretas:
  • Se S=0 ( R=1), ninguém tem número menor, então o jogador 1 perde já no primeiro confronto e X=0 com probabilidade 1.
  • Se L=0 ( R=5), ninguém tem número maior, então o jogador 1 vence todos os 4 confrontos e X=4 com probabilidade 1.
  • Em geral, o jogador 1 só pode vencer no máximo S partidas (não há mais do que S adversários com número menor). Portanto, dado R=r temos X\in\{0,1,\dots,S\}.

Passo 4

Como calcular \mathbb{P}[X=k\mid R=r] (explicação passo a passo e intuitiva).
Fixe r e, portanto, S=r-1 e L=5-r. Olhe a sequência de adversários que o jogador 1 enfrenta: são os jogadores 2,3,4,5, em ordem. Entre esses quatro adversários existem S que são “smalls” (menores que V_1) e L que são “larges” (maiores que V_1). A variável X conta quantos “smalls” aparecem consecutivamente no começo dessa sequência antes de aparecer a primeira “large”. Assim:
  • Se a primeira pessoa encontrada já for uma “large”, então X=0.
  • Se as primeiras k pessoas forem “smalls” e a (k+1)-ésima for a primeira “large”, então X=k.
  • Se não houver nenhuma “large” (isto é, L=0), então X=S com probabilidade 1.
Como os quatro adversários estão em ordem aleatória (todas as permutações igualmente prováveis), a probabilidade condicional é dada pela regra de multiplicação de probabilidades sem reposição:
\mathbb{P}[X=k\mid R=r]= \left(\prod_{i=0}^{k-1}\frac{S-i}{S+L-i}\right)\cdot\frac{L}{S+L-k},
para 0\le k\le S quando L\ge 1. (Interpretação: a probabilidade dos primeiros k serem “smalls” multiplicada pela probabilidade de a próxima ser “large”.) Para o caso L=0 temos \mathbb{P}[X=S\mid R=r]=1.

Passo 5

Calculemos explicitamente \mathbb{P}[X=k\mid R=r] para cada r\in\{1,\dots,5\}.
  • r=1: então S=0, L=4. Não há “smalls”, logo
    \mathbb{P}[X=0\mid R=1]=1.
  • r=2: então S=1, L=3. Possíveis X\in\{0,1\}.
    \mathbb{P}[X=0\mid R=2]=\frac{L}{4}=\frac{3}{4}, \qquad \mathbb{P}[X=1\mid R=2]=\frac{S}{4}\cdot\frac{L}{3}=\frac{1}{4}\cdot 1=\frac{1}{4}.
  • r=3: S=2, L=2. Possíveis X\in\{0,1,2\}.
    \mathbb{P}[X=0\mid R=3]=\frac{L}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2},
\mathbb{P}[X=1\mid R=3]=\frac{2}{4}\cdot\frac{2}{3}=\frac{1}{3},
\mathbb{P}[X=2\mid R=3]=\frac{2}{4}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{2}{2}=\frac{1}{6}.
(Confere: \tfrac12+\tfrac13+\tfrac16=1.)
  • r=4: S=3, L=1. Possíveis X\in\{0,1,2,3\}. \mathbb{P}[X=0\mid R=4]=\frac{1}{4},
\mathbb{P}[X=1\mid R=4]=\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{4},
\mathbb{P}[X=2\mid R=4]=\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4},
\mathbb{P}[X=3\mid R=4]=\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1}=\frac{1}{4}.
(Todos iguais a \tfrac{1}{4} porque há exatamente uma “large” entre três “smalls”.)
  • r=5: S=4, L=0. Não há “larges”, logo \mathbb{P}[X=4\mid R=5]=1.

Passo 6

Agora usamos a fórmula de probabilidade total:
\mathbb{P}[X=k]=\sum_{r=1}^{5}\mathbb{P}[R=r]\cdot\mathbb{P}[X=k\mid R=r] =\frac{1}{5}\sum_{r=1}^{5}\mathbb{P}[X=k\mid R=r],
pois \mathbb{P}[R=r]=\tfrac{1}{5} para todo r.
Calculemos cada \mathbb{P}[X=i]:
  • Para i=0:
    \sum_{r=1}^{5}\mathbb{P}[X=0\mid R=r] =1+\frac{3}{4}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+0 =\frac{5}{2}.
    Logo
    \mathbb{P}[X=0]=\frac{1}{5}\cdot\frac{5}{2}=\frac{1}{2}.
  • Para i=1:
    \sum_{r=1}^{5}\mathbb{P}[X=1\mid R=r] =0+\frac{1}{4}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+0 =\frac{5}{6}.
    Logo
    \mathbb{P}[X=1]=\frac{1}{5}\cdot\frac{5}{6}=\frac{1}{6}.
  • Para i=2:
    \sum_{r=1}^{5}\mathbb{P}[X=2\mid R=r] =0+0+\frac{1}{6}+\frac{1}{4}+0 =\frac{5}{12}.
    Logo
    \mathbb{P}[X=2]=\frac{1}{5}\cdot\frac{5}{12}=\frac{1}{12}.
  • Para i=3:
    \sum_{r=1}^{5}\mathbb{P}[X=3\mid R=r] =0+0+0+\frac{1}{4}+0 =\frac{1}{4}.
    Logo
    \mathbb{P}[X=3]=\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{20}.
  • Para i=4:
    \sum_{r=1}^{5}\mathbb{P}[X=4\mid R=r] =0+0+0+0+1 =1.
    Logo
    \mathbb{P}[X=4]=\frac{1}{5}\cdot 1=\frac{1}{5}.
(Faz uma checagem rápida: \tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{6}+\tfrac{1}{12}+\tfrac{1}{20}+\tfrac{1}{5}=1.)

Resposta

\mathbb{P}[X=0]=\tfrac{1}{2}
\mathbb{P}[X=1]=\tfrac{1}{6}
\mathbb{P}[X=2]=\tfrac{1}{12}
\mathbb{P}[X=3]=\tfrac{1}{20}
\mathbb{P}[X=4]=\tfrac{1}{5}

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