Você leva sua cadela ao veterinário e descobre através de um exame de ultrasonografia que ela está grávida com uma ninhada de 8 filhotes.
Qual é a probabilidade de que exatamente 3 dos filhotes sejam fêmeas?

Passo 1

O enunciado diz que a sua cadela terá uma ninhada de 8 filhotes e pergunta qual é a probabilidade de que exatamente 3 desses filhotes sejam fêmeas.
Informações e hipóteses que vamos usar (fornecidas ou naturalmente assumidas no problema):
  • Tamanho da ninhada: n=8.
  • Número desejado de fêmeas: k=3.
  • Vamos assumir que cada filhote é fêmea com probabilidade p=\tfrac{1}{2} e que o sexo de cada filhote é independente dos outros (isso é o modelo usual para esse tipo de problema).

Passo 2

Modelagem do problema (explicação didática do que vamos calcular):
  • Cada filhote pode ser visto como um experimento de Bernoulli: “sucesso” = filhote fêmea, com probabilidade p=\tfrac{1}{2}; “fracasso” = filhote macho, com probabilidade 1-p=\tfrac{1}{2}.
  • Se fazemos n experimentos independentes de Bernoulli, o número total de sucessos X segue uma distribuição binomial. Definimos a variável aleatória
X=\text{número de fêmeas na ninhada}.úê
  • Queremos P(X=3) com n=8 e p=\tfrac{1}{2}.

Passo 3

Fórmula da distribuição binomial (vou explicar cada termo):
A probabilidade de obter exatamente k sucessos em n tentativas independentes com probabilidade p de sucesso em cada tentativa é
P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k}.
O significado de cada parte:
  • \binom{n}{k} é o número de maneiras diferentes de escolher quais k dentre as n tentativas serão sucessos (combinações).
  • p^{k} é a probabilidade de ocorrerem sucessos exatamente nas k posições escolhidas.
  • (1-p)^{\,n-k} é a probabilidade de ocorrerem fracassos nas n-k posições restantes.
    Tudo junto multiplica o número de configurações pelo produto das probabilidades de cada configuração.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao nosso caso: n=8, k=3, p=\tfrac{1}{2}. Substituindo,
P(X=3)=\binom{8}{3}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{3}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{8-3}.
Agora simplificamos as potências: \left(\tfrac{1}{2}\right)^{3}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{5}=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{8}.

Passo 5

Calculando o coeficiente combinatório \binom{8}{3}:
\binom{8}{3}=\frac{8!}{3!\,5!}.
Avaliaremos de forma prática e sem calcular 8! inteiro: cancele 5! entre 8! e 5!,
\frac{8\cdot7\cdot6\cdot5!}{3!\,5!}=\frac{8\cdot7\cdot6}{3\cdot2\cdot1}.
Agora calcule numerador e denominador:
\frac{8\cdot7\cdot6}{3\cdot2\cdot1}=\frac{336}{6}=56.
Portanto \binom{8}{3}=56.

Passo 6

Calcule a probabilidade completa:
P(X=3)=56\cdot\left(\tfrac{1}{2}\right)^{8}=56\cdot\frac{1}{256}=\frac{56}{256}.
Simplificando a fração (dividindo numerador e denominador por 8):
\frac{56}{256}=\frac{7}{32}.
Em forma decimal, isso equivale a 0{,}21875.

Passo 7

Dica rápida para a prova (modo prático):
  • Use a fórmula binomial direta: calcule \binom{n}{k} pela razão de produtos (como em Passo 5) para não precisar de calculadora com n!.
  • Multiplique por p^k(1-p)^{n-k}. No caso p=\tfrac{1}{2}, isso vira simplesmente \left(\tfrac{1}{2}\right)^n, o que facilita muito.
    Força aí — você já pega o jeito rápido com alguns exercícios assim!

Resposta

\dfrac{7}{32}

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