Você leva sua cadela ao veterinário e descobre através de um exame de ultrasonografia que ela está grávida com uma ninhada de 8 filhotes.
Qual é a probabilidade de que exatamente 3 dos filhotes sejam fêmeas?
Qual é a probabilidade de que exatamente 3 dos filhotes sejam fêmeas?
Passo 1
O enunciado diz que a sua cadela terá uma ninhada de
filhotes e pergunta qual é a probabilidade de que exatamente
desses filhotes sejam fêmeas.
Informações e hipóteses que vamos usar (fornecidas ou naturalmente assumidas no problema):
Informações e hipóteses que vamos usar (fornecidas ou naturalmente assumidas no problema):
- Tamanho da ninhada:
. - Número desejado de fêmeas:
. - Vamos assumir que cada filhote é fêmea com probabilidade
e que o sexo de cada filhote é independente dos outros (isso é o modelo usual para esse tipo de problema).
Passo 2
Modelagem do problema (explicação didática do que vamos calcular):
- Cada filhote pode ser visto como um experimento de Bernoulli: “sucesso” = filhote fêmea, com probabilidade
; “fracasso” = filhote macho, com probabilidade . - Se fazemos
experimentos independentes de Bernoulli, o número total de sucessos segue uma distribuição binomial. Definimos a variável aleatória
- Queremos
com e .
Passo 3
Fórmula da distribuição binomial (vou explicar cada termo):
A probabilidade de obter exatamente sucessos em
tentativas independentes com probabilidade
de sucesso em cada tentativa é
A probabilidade de obter exatamente
O significado de cada parte:
-
é o número de maneiras diferentes de escolher quais dentre as tentativas serão sucessos (combinações). -
é a probabilidade de ocorrerem sucessos exatamente nas posições escolhidas. -
é a probabilidade de ocorrerem fracassos nas posições restantes.
Tudo junto multiplica o número de configurações pelo produto das probabilidades de cada configuração.
Passo 4
Aplicando a fórmula ao nosso caso:
,
,
. Substituindo,
Agora simplificamos as potências:
.
Passo 5
Calculando o coeficiente combinatório
:
Avaliaremos de forma prática e sem calcular
inteiro: cancele
entre
e
,
Agora calcule numerador e denominador:
Portanto
.
Passo 6
Calcule a probabilidade completa:
Simplificando a fração (dividindo numerador e denominador por
):
Em forma decimal, isso equivale a
.
Passo 7
Dica rápida para a prova (modo prático):
- Use a fórmula binomial direta: calcule
pela razão de produtos (como em Passo 5) para não precisar de calculadora com . - Multiplique por
. No caso , isso vira simplesmente , o que facilita muito.
Força aí — você já pega o jeito rápido com alguns exercícios assim!