Mostre que x0=0 é um ponto singular regular para a equação de Bessel de ordem p >= 0,
x^2 y^prime prime+x y^prime+(x^2-p^2) y=0

Passo 1

O enunciado pede para verificar que x0=0 é um ponto singular regular da equação de Bessel de ordem p>= 0:
x^2y''+xy'+l(x^2-p^2r)y=0
O conteúdo utilizado será a classificação de pontos singulares em equações lineares de segunda ordem. Precisamos escrever a equação na forma
y''+P(x)y'+Q(x)y=0
e mostrar que x=0 é singular (pois P ou Q não são analíticas ali) mas regular, isto é, (x-0)P(x) e (x-0)^2Q(x) são analíticas em x=0.

Passo 2

Dividindo a equação original por x^2 (válido para xneq0), obtemos a forma padrão
y''+1x,y'+l(1-p^2x^2r)y=0
Logo
P(x)=1x, Q(x)=1-p^2x^2

Passo 3

Analisamos P e Q em x=0:
P(x)=1/x tem polo simples em x=0, logo não é analítica ali.
Q(x)=1-p^2/x^2 tem polo de segunda ordem em x=0.
Isto mostra que x=0 é um ponto singular (não ordinário).

Passo 4

Verificamos a regularidade:
x,P(x)=xcdot1x=1,
x^2Q(x) =x^2l(1-p^2x^2r) =x^2-p^2
Ambas as funções, xP(x)=1 e x^2Q(x)=x^2-p^2, são polinômios em x e, portanto, analíticas num entorno de x=0.

Resposta

Como (x-0)P(x) e (x-0)^2Q(x) são analíticas em x=0, concluímos que x0=0 é um ponto singular regular da equação de Bessel.

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