Considere a equação diferencial d yd x=x y com condição inicial y(0)=1.
(a) Resolva a equação usando a técnica de separação de variáveis.
(b) Agora tente resolver a equação novamente, mas desta vez supondo que a solução pode ser escrita como uma série de potências y(x)=sumn=0^infty an x^n. Mostre que os coeficientes da série satisfazem a relação de recorrência (n+1) an+1=an-1, forall n >= 1 e que a1=0. Calcule os coeficientes da série e seu raio de convergência.
(c) Use a expansão de Taylor da função exponencial em x0=0 para verificar que as soluções obtidas em (a) e (b) são idénticas. [e^x^2 / 2=sumk=0^infty(x^2 / 2)^n / n!=sumn=0^infty x^2 n /(2^n n!)].

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO
dydx=x,y, y(0)=1
de três formas: (a) por separação de variáveis, (b) por série de potências y(x)=sumn=0^infty an x^n, e (c) mostrar que ambas dão a mesma solução usando a expansão de e^x^2/2.

Passo 2

Aplicando separação de variáveis, escrevemos
dyy=x,dx
Integramos ambos os lados:
integraldyy=integral x,dx Longrightarrow ln|y|=x^22+C
Exponenciando e usando y(0)=1 (logo C=0), obtemos
y(x)=e^x^2/2

Passo 3

Agora suponha
y(x)=sumn=0^infty an x^n
Então
y'(x)=sumn=1^infty n,an,x^n-1, x,y(x)=sumn=0^infty an,x^n+1 =sumn=1^infty an-1,x^n
Igualando coeficientes de x^n em y'=x,y para n>=1
n,an=(n-1+1),an=(n+1),an+1=an-1 Longrightarrow (n+1),an+1=an-1
Para n=0 temos 1cdot a1=a-1=0, logo a1=0.

Passo 4

Da recorrência (n+1)an+1=an-1 e a0=1, a1=0 segue
  • Para n ímpar, an=0.
  • Para n=2k, a2k =a2k-22k =12cdot4cdot6cdots(2k) =12^k,k!
Assim
y(x)=sumk=0^infty a2kx^2k =sumk=0^inftyx^2k2^k,k!
Pelo teste da raiz ou razão percebe-se que o raio de convergência é infinito.

Passo 5

A expansão de Taylor de e^x^2/2 em 0 é
e^x^2/2 =sumk=0^infty(x^2/2)^kk! =sumk=0^inftyx^2k2^k,k!,
que coincide exatamente com a série encontrada em (b).

Resposta

(a) y(x)=e^x^2/2
(b) Na série y(x)=sumn=0^infty anx^n tem-se
(n+1)an+1=an-1, a1=0,
resultando em
a2k=12^k,k!, a2k+1=0,
com raio de convergência R=infty.
(c) A série de (b) é exatamente a expansão de e^x^2/2, logo as soluções coincidem.

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