Considere a equação diferencial
com condição inicial
.
(a) Resolva a equação usando a técnica de separação de variáveis.
(b) Agora tente resolver a equação novamente, mas desta vez supondo que a solução pode ser escrita como uma série de potências
. Mostre que os coeficientes da série satisfazem a relação de recorrência
e que
. Calcule os coeficientes da série e seu raio de convergência.
(c) Use a expansão de Taylor da função exponencial em
para verificar que as soluções obtidas em (a) e (b) são idénticas.
.
(a) Resolva a equação usando a técnica de separação de variáveis.
(b) Agora tente resolver a equação novamente, mas desta vez supondo que a solução pode ser escrita como uma série de potências
(c) Use a expansão de Taylor da função exponencial em
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO
de três formas: (a) por separação de variáveis, (b) por série de potências
, e (c) mostrar que ambas dão a mesma solução usando a expansão de
.
Passo 2
Aplicando separação de variáveis, escrevemos
Integramos ambos os lados:
Exponenciando e usando
(logo
), obtemos
Passo 3
Agora suponha
Então
Igualando coeficientes de
em
para
dá
Para
temos
, logo
.
Passo 4
Da recorrência
e
,
segue
- Para
ímpar, . - Para
,
Assim
Pelo teste da raiz ou razão percebe-se que o raio de convergência é infinito.
Passo 5
A expansão de Taylor de
em
é
que coincide exatamente com a série encontrada em (b).
Resposta
(a)
(b) Na série tem-se
(b) Na série
resultando em
com raio de convergência
.
(c) A série de (b) é exatamente a expansão de , logo as soluções coincidem.
(c) A série de (b) é exatamente a expansão de