1. Mostre que:
x+\frac{1}{x} \geq 2, \quad \forall x>0

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que
x + \frac{1}{x} \ge 2\,,\quad \forall x>0.
O conteúdo que vamos usar é o teorema da média aritmética–geométrica (AM–GM), que diz que, para quaisquer a>0 e b>0,
\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}\,.

Passo 2

Aplicamos AM–GM aos números a=x e b=\frac{1}{x}. Como x>0 e \tfrac{1}{x}>0, vale
\frac{x + \frac{1}{x}}{2} \ge \sqrt{x \cdot \frac{1}{x}} = 1.
Multiplicando ambos os lados por 2, obtemos
x + \frac{1}{x} \ge 2.

Resposta

Foi demonstrado que \displaystyle x + \tfrac{1}{x} \ge 2 para todo x>0, com igualdade exatamente quando x=1.

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