Mostre que (x+i y)^{n}(x-i y)^{n}=\left(x^{2}+y^{2}\right)^{n} :

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para x,y\in\mathbb{R} e n\in\mathbb{N},
(x+i y)^{n}(x-i y)^{n}=\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{n}.
O conteúdo envolvido são propriedades de números complexos (conjugado e módulo) e regras de exponenciação.

Passo 2

Defina o número complexo
z = x + i y,
cujo conjugado é
\bar z = x - i y.
Pela propriedade dos expoentes, temos
z^{n}\,\bar z^{n} = (z\,\bar z)^{n}.

Passo 3

Calcule o produto z\,\bar z:
z\,\bar z = (x+iy)(x-iy) = x^2 - ixy + ixy - i^2y^2 = x^2 + y^2.

Passo 4

Substituindo z\,\bar z = x^2 + y^2 em (z\,\bar z)^n, obtemos
(z\,\bar z)^n = (x^2 + y^2)^n,
ou seja,
(x+iy)^n\,(x-iy)^n = (x^2 + y^2)^n.

Resposta

(x+iy)^n(x-iy)^n = (x^2+y^2)^n.

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