Mostre que:
\frac{5}{(1-i)(2-i)(3-i)}=\frac{i}{2}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\frac{5}{(1 - i)(2 - i)(3 - i)} = \frac{i}{2}.
Vamos usar álgebra de números complexos: multiplicar fatores, simplificar e racionalizar o denominador.

Passo 2

Primeiro, compute
(1 - i)(2 - i) = 1\cdot2 - 1\cdot i - i\cdot2 + i\cdot i = 2 - i - 2i + i^2 = 2 - 3i - 1 = 1 - 3i.

Passo 3

Agora multiplique esse resultado por (3 - i):
(1 - 3i)(3 - i) = 1\cdot3 - 1\cdot i - 3i\cdot3 + 3i\cdot i = 3 - i - 9i + 3i^2 = 3 -10i -3 = -10i.
Logo o denominador é -10i.

Passo 4

Substituindo na fração,
\frac{5}{(1 - i)(2 - i)(3 - i)} = \frac{5}{-10i} = -\frac{1}{2i}.
Para racionalizar, multiplica-se numerador e denominador por i:
-\frac{1}{2i}\,\frac{i}{i} = -\frac{i}{2\,i^2} = -\frac{i}{2(-1)} = \frac{i}{2}.

Resposta

\frac{5}{(1 - i)(2 - i)(3 - i)} = \frac{i}{2}.

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