Reduza à forma a+b i cada uma das expressões abaixo:
((1+\frac{i}{3})(\frac{6}{5}+6 i))

Passo 1

O enunciado pede para reduzir à forma a+bi o produto
\bigl(1+\tfrac{i}{3}\bigr)\,\bigl(\tfrac{6}{5}+6i\bigr).
O conteúdo aqui é multiplicação de números complexos, usando a distributiva e a identidade i^2=-1.

Passo 2

Aplicamos a propriedade distributiva:
\bigl(1+\tfrac{i}{3}\bigr)\,\bigl(\tfrac{6}{5}+6i\bigr) =1\cdot\tfrac{6}{5} +1\cdot6i +\tfrac{i}{3}\cdot\tfrac{6}{5} +\tfrac{i}{3}\cdot6i.
Agora calculamos cada termo separadamente:
1\cdot\tfrac{6}{5}=\tfrac{6}{5}, \quad 1\cdot6i=6i,
\tfrac{i}{3}\cdot\tfrac{6}{5}=\tfrac{6}{15}i=\tfrac{2}{5}i, \quad \tfrac{i}{3}\cdot6i=2\,i^2=2(-1)=-2.

Passo 3

Agrupamos as partes reais e imaginárias:
parte real: \tfrac{6}{5}-2, parte imaginária: 6i+\tfrac{2}{5}i.
Calculamos:
\tfrac{6}{5}-2=\tfrac{6}{5}-\tfrac{10}{5}=-\tfrac{4}{5}, \quad 6+\tfrac{2}{5}=\tfrac{30}{5}+\tfrac{2}{5}=\tfrac{32}{5},
logo a parte imaginária é \tfrac{32}{5}i.

Resposta

-\tfrac{4}{5}+\tfrac{32}{5}\,i

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