Mostre que (x+i y){2}=x{2}-y^{2}+2 i x y.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para números reais x e y, o quadrado do número complexo x + i\,y resulta em
(x + i\,y)^{2} \;=\; x^{2} - y^{2} + 2\,i\,x\,y.
O conteúdo aqui é a expansão de um binômio ao quadrado e a simplificação usando a propriedade fundamental da unidade imaginária, que é
i^{2} = -1.

Passo 2

Vamos expandir o quadrado como em álgebra elementar:
(x + i\,y)^{2} = x^{2} + 2\,(x)(i\,y) + (i\,y)^{2}.

Passo 3

Agora aplicamos i^{2} = -1 ao último termo:
(i\,y)^{2} = i^{2}\,y^{2} = -1 \cdot y^{2} = -\,y^{2}.
Substituindo isso na expansão, obtemos
(x + i\,y)^{2} = x^{2} + 2\,i\,x\,y - y^{2},
ou seja
(x + i\,y)^{2} = x^{2} - y^{2} + 2\,i\,x\,y.

Resposta

(x + i\,y)^{2} = x^{2} - y^{2} + 2\,i\,x\,y.

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