Um quadrado, inscrito numa circunferência de centro na origem, tem como um de seus vértices o número Z_{1}=3 i. Que números complexos são representados pelos outros três vértices?

Passo 1

O enunciado diz que há um quadrado inscrito numa circunferência de centro na origem e que um de seus vértices é \;Z_{1}=3\,i.
Queremos encontrar os outros três vértices desse quadrado. O conteúdo aqui é usar a representação geométrica dos números complexos na forma polar e o fato de que os vértices de um polígono regular inscrito num círculo estão igualmente espaçados em ângulo.

Passo 2

Como \;Z_{1}=3\,i está na circunferência de centro na origem, o raio R dessa circunferência é
R=\bigl|Z_{1}\bigr|=\bigl|3\,i\bigr|=3.

Passo 3

Num polígono regular de quatro lados (quadrado) inscrito num círculo, os vértices correspondem a ângulos igualmente espaçados de 90^\circ (ou \tfrac{\pi}{2} rad). O vértice dado tem argumento \tfrac{\pi}{2}. Então os quatro argumentos são
\theta_k = \frac{\pi}{2} + k\cdot\frac{\pi}{2},\quad k=0,1,2,3.
Em forma polar, os vértices são
Z_k = R\,e^{\,i\theta_k} = 3\,e^{\,i(\tfrac{\pi}{2}+k\frac{\pi}{2})}.

Passo 4

Para k=0 obtemos Z_1=3\,e^{i\pi/2}=3\,i (o dado).
Para os outros três:
  • k=1:
Z_2 = 3\,e^{\,i\pi} = -3.
  • k=2:
Z_3 = 3\,e^{\,i3\pi/2} = 3\bigl(\cos\tfrac{3\pi}{2}+i\sin\tfrac{3\pi}{2}\bigr)=-3\,i.
  • k=3:
Z_4 = 3\,e^{\,i2\pi} = 3.

Resposta

Os outros três vértices são
-3,\quad -3\,i,\quad 3.

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