Mostre que (x-i y){2}=x{2}-y^{2}-2 i x y.

Passo 1

O enunciado pede para provar a expansão do quadrado do número complexo (x - i\,y). O conteúdo aqui é álgebra de números complexos, em particular usar a fórmula do quadrado de uma diferença e a propriedade i^{2}=-1.

Passo 2

Relembre a propriedade fundamental da unidade imaginária:
i^{2} = -1.

Passo 3

Use a fórmula do quadrado da diferença de dois termos a e b:
(a - b)^{2} = a^{2} - 2\,a\,b + b^{2}.
Tomando a = x e b = i\,y, obtemos
(x - i\,y)^{2} = x^{2} - 2\,x\,(i\,y) + (i\,y)^{2}.

Passo 4

Calcule cada termo:
-2\,x\,(i\,y) = -2\,i\,x\,y \quad\text{e}\quad (i\,y)^{2} = i^{2}\,y^{2} = -\,y^{2}.
Substituindo de volta, fica
(x - i\,y)^{2} = x^{2} - 2\,i\,x\,y + \bigl(-y^{2}\bigr) = x^{2} - y^{2} - 2\,i\,x\,y.

Resposta

(x - i\,y)^{2} = x^{2} - y^{2} - 2\,i\,x\,y.

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