Mostre que se xn >= 0 para todo n in N e lim xn=0, então lim raizxn=0.

Passo 1

O enunciado nos dá uma sequência (xn) tal que xn>=0 para todo ninN e limntoinftyxn=0. Queremos mostrar que
limntoinftyraizxn=0
Aqui usaremos a definição de limite de sequência e a propriedade de que, para números não negativos,
raizxn<varepsilon é equivalente a xn<varepsilon^2.

Passo 2

Lembrando a definição de limite de sequência, dizer que
limntoinftyraizxn=0
significa que, para todo varepsilon>0, existe NinN tal que, para todo n>= N, vale
l|raizxn-0r|<varepsilon
Como raizxn>=0, isso equivale a
raizxn<varepsilon

Passo 3

Para conectar isso com a hipótese lim xn=0, note que
raizxn<varepsilon Long<=ftrightarrow xn<varepsilon^2
Portanto, basta garantir xn<varepsilon^2 quando n for suficientemente grande.

Passo 4

Como limntoinftyxn=0, para o valor varepsilon^2>0 existe NinN tal que, para todo n>= N,
|xn-0|<varepsilon^2,
isto é,
xn<varepsilon^2

Passo 5

Logo, para todo n>= N temos
raizxn<raizvarepsilon^2=varepsilon,
ou seja,
l|raizxn-0r|<varepsilon
Isso mostra que limntoinftyraizxn=0.

Resposta

limntoinftyraizxn=0.

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