Mostre que se
para todo
e
, então
.
Passo 1
O enunciado nos dá uma sequência
tal que
para todo
e
. Queremos mostrar que
Aqui usaremos a definição de limite de sequência e a propriedade de que, para números não negativos,
é equivalente a
.
Passo 2
Lembrando a definição de limite de sequência, dizer que
significa que, para todo , existe
tal que, para todo
, vale
significa que, para todo
Como
raizxn>=0 , isso equivale a
Passo 3
Para conectar isso com a hipótese
lim xn=0 , note que
Portanto, basta garantir
xn<varepsilon^2 quando
n for suficientemente grande.
Passo 4
Como
limntoinftyxn=0 , para o valor
varepsilon^2>0 existe
NinN tal que, para todo
n>= N ,
isto é,
Passo 5
Logo, para todo
n>= N temos
ou seja,
Isso mostra que
limntoinftyraizxn=0 .