Observação importante: a equação tem um termo \dfrac{1}{x}, portanto devemos trabalhar em domínios onde x\neq 0. Como a condição inicial está em x=-1, procuraremos uma solução definida em um intervalo que contenha x=-1 (ou seja, num intervalo com x<0).]
Passo 2
Identificamos que a equação é uma equação linear de primeira ordem no formato padrão
y'(x)+P(x)\,y(x)=Q(x).
Reescrevendo a equação dada nesse formato obtemos
y'(x)+\Big(-\dfrac{1}{x}\Big)y(x)=-x^{3}.
Logo:
P(x)=-\dfrac{1}{x},\qquad Q(x)=-x^{3}.
Passo 3
A técnica clássica para resolver equações lineares de primeira ordem é usar um fator integrante \mu(x) definido por
Como precisamos de uma solução que passe por x=-1 (ou seja, no lado negativo de zero), em qualquer intervalo contendo -1 temos |x|=-x, e assim podemos escolher
\mu(x)=-\dfrac{1}{x}\qquad\text{(válido para \(x<0\)).}á
Observação didática: multiplicar por uma constante multiplicativa não altera a técnica; escolher \mu(x)=-1/x é conveniente porque é a expressão positiva de 1/|x| quando x<0.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante \mu(x)=-\dfrac{1}{x}. Fazendo isso obtemos:
conforme exigido pela equação. Além disso y(-1)=2(-1)-\dfrac{(-1)^{4}}{3}=-2-\dfrac{1}{3}=-\dfrac{7}{3}, portanto a condição inicial também é satisfeita.