Dada a equação diferencial ordinária
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}-3 y=-3 t e^{-t}
a) Encontre a solução geral da equação homogênea correspondente;
b) Encontre uma solução particular para a EDO;

Passo 1

O enunciado dá a EDO
y'' - 2y' - 3y = -3t e^{-t}
e pede:
a) a solução geral da homogênea associada (isto é, de y'' - 2y' - 3y = 0);
b) uma solução particular da EDO completa.
Para isso usaremos o método do polinômio multiplicado por exponencial (coeficientes a determinar).

Passo 2

Para a homogênea consideramos a equação característica
r^2 - 2r - 3 = 0,
cujos raízes são
r = 3,\quad r = -1.
Logo a solução geral da homogênea é
y_h = C_1 e^{3t} + C_2 e^{-t}.

Passo 3

Como o termo de forçamento é -3t e^{-t}, fazemos o ansatz
y_p = e^{-t}(A t^2 + B t),
pois e^{-t} corresponde a \alpha=-1, que é raiz simples da característica, e t multiplica o polinômio de grau 1.

Passo 4

Calculamos as derivadas de y_p:
y_p = e^{-t}(A t^2 + B t),
y_p' = e^{-t}\bigl(-A t^2 + (2A - B)t + B\bigr),
y_p'' = e^{-t}\bigl(A t^2 + (-4A + B)t + (2A - 2B)\bigr).

Passo 5

Substituindo em y'' - 2y' - 3y obtemos
y_p'' - 2y_p' - 3y_p = e^{-t}\bigl(-8A\,t + (2A - 4B)\bigr)
que deve igualar -3t e^{-t}. Assim
-8A = -3 \quad\Longrightarrow\quad A = \tfrac{3}{8},
2A - 4B = 0 \quad\Longrightarrow\quad B = \tfrac{3}{16}.

Passo 6

Logo uma solução particular é
y_p = e^{-t}\Bigl(\tfrac{3}{8}t^2 + \tfrac{3}{16}t\Bigr).

Resposta

a) \displaystyle y_h = C_1 e^{3t} + C_2 e^{-t}.
b) \displaystyle y_p = e^{-t}\Bigl(\tfrac{3}{8}t^2 + \tfrac{3}{16}t\Bigr).

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