Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
Passo 1
Primeiro, vamos resumir a questão. Precisamos encontrar a solução geral da equação diferencial dada:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolvê-la, vamos usar técnicas de resolução de equações homogêneas e entender como lidar com raízes complexas na equação característica.
Passo 2
Começamos identificando a equação diferencial homogênea:
Como não há um termo independente (ou seja, o lado direito da equação é zero), sabemos que é uma equação homogênea.
Passo 3
Para resolver essa equação, precisamos encontrar as raízes da equação característica associada. A equação característica é obtida substituindo $ y’’ $ por $ r^2 $, $ y’ $ por $ r $ e $ y $ por 1:
Passo 4
Resolvemos a equação quadrática $ r^2 + 6 r + 13 = 0 $ usando a fórmula de Bhaskara:
onde $ a = 1 $, $ b = 6 $ e $ c = 13 $.
Passo 5
Calculamos o discriminante $ \Delta $:
Como o discriminante é negativo ($ \Delta < 0 $), sabemos que as raízes serão complexas.
Passo 6
As raízes complexas são dadas por:
Portanto, as raízes são $ r = -3 + 2i $ e $ r = -3 - 2i $.
Passo 7
Quando temos raízes da forma $ \alpha \pm \beta i $, a solução geral da equação diferencial é:
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.
No nosso caso, $ \alpha = -3 $ e $ \beta = 2 $.
Passo 8
Substituindo os valores de $ \alpha $ e $ \beta $ na fórmula da solução geral, temos:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: