Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
y^prime prime+6 y^prime+13=0

Passo 1

Primeiro, vamos resumir a questão. Precisamos encontrar a solução geral da equação diferencial dada:
y'' + 6 y' + 13 = 0
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolvê-la, vamos usar técnicas de resolução de equações homogêneas e entender como lidar com raízes complexas na equação característica.

Passo 2

Começamos identificando a equação diferencial homogênea:
y'' + 6 y' + 13 = 0
Como não há um termo independente (ou seja, o lado direito da equação é zero), sabemos que é uma equação homogênea.

Passo 3

Para resolver essa equação, precisamos encontrar as raízes da equação característica associada. A equação característica é obtida substituindo $ y’’ $ por $ r^2 $, $ y’ $ por $ r $ e $ y $ por 1:
y''

Passo 4

Resolvemos a equação quadrática $ r^2 + 6 r + 13 = 0 $ usando a fórmula de Bhaskara:
r^2 + 6 r + 13 = 0
onde $ a = 1 $, $ b = 6 $ e $ c = 13 $.

Passo 5

Calculamos o discriminante $ \Delta $:
De
Como o discriminante é negativo ($ \Delta < 0 $), sabemos que as raízes serão complexas.

Passo 6

As raízes complexas são dadas por:
r = -6 pm raiz-162 = -6 pm 4i2 = -3 pm 2i
Portanto, as raízes são $ r = -3 + 2i $ e $ r = -3 - 2i $.

Passo 7

Quando temos raízes da forma $ \alpha \pm \beta i $, a solução geral da equação diferencial é:
alpha pm beta i
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.
No nosso caso, $ \alpha = -3 $ e $ \beta = 2 $.

Passo 8

Substituindo os valores de $ \alpha $ e $ \beta $ na fórmula da solução geral, temos:
alpha

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(t) = e^-3 t ( C1 cos(2 t) + C2 sin(2 t) )

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