Mostre que y1(x)=x^2 e y2(x)=x^5 sào soluçàes da equação
x^2 y^prime prime-6 x y^prime+10 y=0

Passo 1

A equação diferencial dada é um caso de equação de Euler–Cauchy:
Queremos mostrar que as funções y1(x)=x^2 e y2(x)=x^5 satisfazem
x^2y'' -6x y' +10y = 0
Para isso, vamos derivar cada candidato e substituir na equação.

Passo 2

Para y1(x)=x^2:
  • Calculamos as derivadas:
    y1'(x)=2x
    y1''(x)=2
  • Substituindo em bloco na equação:
    x^2,y1'' -6x,y1' +10,y1 = x^2cdot2 -6xcdot(2x) +10cdot x^2 = 2x^2 -12x^2 +10x^2 =0
Logo, y1(x)=x^2 é solução.

Passo 3

Para y2(x)=x^5:
  • Calculamos as derivadas:
    y2'(x)=5x^4
    y2''(x)=20x^3
  • Substituindo em bloco na equação:
    x^2,y2'' -6x,y2' +10,y2 = x^2cdot(20x^3) -6xcdot(5x^4) +10cdot x^5 = 20x^5 -30x^5 +10x^5 =0
Logo, y2(x)=x^5 é solução.

Passo 4

Concluímos que ambas as funções y1(x)=x^2 e y2(x)=x^5 satisfazem a equação diferencial proposta, pois ao substituí-las obtemos identidade nula.

Resposta

As funções y₁(x)=x² e y₂(x)=x⁵ são soluções da equação diferencial x²y’’ – 6xy’ + 10y = 0.

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