Vamos calcular a Transformada de Laplace da função:
f(t)=t pi^-2 t cos (t) sin (t) cdot u(t-4)

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que precisa ser resolvido. Temos que calcular a Transformada de Laplace da função:
f(t) = t pi^-2 t cos(t) sin(t) cdot u(t-4)
Aqui, estamos trabalhando com a Transformada de Laplace, que transforma funções do tempo para o domínio da frequência. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas propriedades da Transformada de Laplace, simplificar expressões trigonométricas e lidar com a função escalonada $ u(t-4) $.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a parte trigonométrica da função $ \cos(t) \sin(t) $. Sabemos que existe uma identidade trigonométrica que nos ajuda aqui:
cos(t) sin(t)
Então, nossa função $ f(t) $ fica:
cos(t) sin(t) = 12 sin(2t)

Passo 3

Agora, vamos tratar da parte $ u(t-4) $. A função $ u(t-a) $ é chamada de função escalonada ou função degrau, e ela “ativa” a função original a partir de $ t = a $. A Transformada de Laplace de $ f(t-a)u(t-a) $ é dada por:
u(t-4)
onde $ F(s) $ é a Transformada de Laplace da função $ f(t) $ sem o deslocamento. No nosso caso, $ a = 4 $.

Passo 4

Vamos focar agora em calcular a Transformada de Laplace de:
12 t pi^-2 t sin(2t)
Primeiro, observe que $ \pi^{-2 t} $ pode ser reescrito usando exponenciais:
pi^-2 t
Então, a função fica:
pi^-2 t = e^-2 t ln(pi)

Passo 5

Precisamos agora lembrar de uma fórmula da Transformada de Laplace para funções da forma $ t e^{at} \sin(bt) $. A Transformada é:
t e^at sin(bt)
Comparando com a nossa função, temos:
  • $ a = -2 \ln(\pi) $
  • $ b = 2 $

Passo 6

Aplicando a fórmula acima, substituímos $ a $ e $ b $:
a
Como nossa função original tinha um fator $ \frac{1}{2} $, multiplicamos o resultado por esse fator:
b

Passo 7

Por fim, aplicamos a propriedade da função escalonada que mencionamos no Passo 3. Multiplicamos a Transformada que obtivemos por $ e^{-4s} $:
e^-4s

Resposta

A Transformada de Laplace da função $ f(t) $ é:
f(t)

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