Vamos calcular a Transformada de Laplace da função:
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que precisa ser resolvido. Temos que calcular a Transformada de Laplace da função:
Aqui, estamos trabalhando com a Transformada de Laplace, que transforma funções do tempo para o domínio da frequência. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas propriedades da Transformada de Laplace, simplificar expressões trigonométricas e lidar com a função escalonada $ u(t-4) $.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a parte trigonométrica da função $ \cos(t) \sin(t) $. Sabemos que existe uma identidade trigonométrica que nos ajuda aqui:
Então, nossa função $ f(t) $ fica:
Passo 3
Agora, vamos tratar da parte $ u(t-4) $. A função $ u(t-a) $ é chamada de função escalonada ou função degrau, e ela “ativa” a função original a partir de $ t = a $. A Transformada de Laplace de $ f(t-a)u(t-a) $ é dada por:
onde $ F(s) $ é a Transformada de Laplace da função $ f(t) $ sem o deslocamento. No nosso caso, $ a = 4 $.
Passo 4
Vamos focar agora em calcular a Transformada de Laplace de:
Primeiro, observe que $ \pi^{-2 t} $ pode ser reescrito usando exponenciais:
Então, a função fica:
Passo 5
Precisamos agora lembrar de uma fórmula da Transformada de Laplace para funções da forma $ t e^{at} \sin(bt) $. A Transformada é:
Comparando com a nossa função, temos:
- $ a = -2 \ln(\pi) $
- $ b = 2 $
Passo 6
Aplicando a fórmula acima, substituímos $ a $ e $ b $:
Como nossa função original tinha um fator $ \frac{1}{2} $, multiplicamos o resultado por esse fator:
Passo 7
Por fim, aplicamos a propriedade da função escalonada que mencionamos no Passo 3. Multiplicamos a Transformada que obtivemos por $ e^{-4s} $:
Resposta
A Transformada de Laplace da função $ f(t) $ é: