Mostre que todo inteiro é da forma
ou
para algum natural positivo
. Você pode utilizar que dados naurais
e
exatamente uma das afirmações a seguir é verdadeira:
ou
.
Definição: Dados inteiros
dizemos que
, ou que
, quando
é um número natural. Dizemos que
, ou que
, quando
e
.
Definição: Dados inteiros
Passo 1
O exercício define inteiros como classes de equivalência de pares
pela relação
Precisamos mostrar que, dado um inteiro genérico
, existe algum
em
tal que
, ou
, ou
.
Vamos usar também que para quaisquer naturais ocorre exatamente um dos casos
,
ou
.
Vamos usar também que para quaisquer naturais
Passo 2
Tomemos um inteiro arbitrário
. Pela propriedade de ordem total em
, temos três casos:
,
ou
.
Passo 3
Se
, então temos o par
. Como
tecemos
. Logo
[
x=[(a,b)]=[(a,a)]=[(0,0)].
x=[(a,b)]=[(a,a)]=[(0,0)].
Passo 4
Se
, existe único
em
tal que
. Então
e
portanto
e
[
x=[(a,b)]=[(n,0)].
x=[(a,b)]=[(n,0)].
Passo 5
Se
, de modo análogo existe
com
. Então
e
portanto
e
pois por definição de inverso em
vale
.
Resposta
Concluímos que todo inteiro
é exatamente de uma das formas:
com
, ou
, ou
, para algum
.