Mostre que todo inteiro é da forma [(n, 0)],[(0,0)] ou -[(n, 0)] para algum natural positivo n. Você pode utilizar que dados naurais a e b exatamente uma das afirmações a seguir é verdadeira: a>b, a=b ou b>a.
Definição: Dados inteiros m, n dizemos que m >= n, ou que n <= m, quando m-n é um número natural. Dizemos que m>n, ou que n, quando m >= n e m neq n.

Passo 1

O exercício define inteiros como classes de equivalência de pares (a,b)inNtimesN pela relação
(a,b)sim(c,d)Long<=ftrightarrow a+d=b+c
Precisamos mostrar que, dado um inteiro genérico x=[(a,b)], existe algum n>0 em N tal que
x=[(n,0)], ou x=[(0,0)], ou x=-[(n,0)].
Vamos usar também que para quaisquer naturais a,b ocorre exatamente um dos casos a=b, a>b ou b>a.

Passo 2

Tomemos um inteiro arbitrário x=[(a,b)]. Pela propriedade de ordem total em N, temos três casos: a=b, a>b ou b>a.

Passo 3

Se a=b, então temos o par (a,a). Como
a+0=a+0,
tecemos (a,a)sim(0,0). Logo
[
x=[(a,b)]=[(a,a)]=[(0,0)].

Passo 4

Se a>b, existe único n>0 em N tal que a=b+n. Então
(a,b)=(b+n,b)
e
(b+n)+0=b+n=a,
portanto
(a,b)sim(n,0)
e
[
x=[(a,b)]=[(n,0)].

Passo 5

Se b>a, de modo análogo existe n>0 com b=a+n. Então
(a,b)=(a,a+n)
e
a+(n)=a+n=b,
portanto
(a,b)sim(0,n)
e
x=[(a,b)]=[(0,n)]=-[(n,0)],
pois por definição de inverso em Z vale -[(n,0)]=[(0,n)].

Resposta

Concluímos que todo inteiro x é exatamente de uma das formas:
x=[(n,0)] com n>0, ou x=[(0,0)], ou x=-[(n,0)], para algum n>0.

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