Indique a afirmação falsa.
(d) Sejam
um intervalo aberto e
derivável em
. Se
é limitada em
, então
é uniformemente contínua em
.
(d) Sejam
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma afirmação que diz: “Seja
um intervalo aberto e
derivável em
. Se
é limitada em
, então
é uniformemente contínua em
.” Nosso objetivo aqui é descobrir se essa afirmação é falsa. Para isso, vamos precisar entender sobre derivadas limitadas e continuidade uniforme.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser uniformemente contínua. Basicamente, isso quer dizer que, para qualquer pequena variação que a gente escolher no y (chamamos de
), a gente consegue encontrar uma variação correspondente no x (chamamos de
) que funciona para todo o intervalo
, não importa onde a gente esteja nesse intervalo.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o que significa ter a derivada limitada. Se
é limitada em
, isso quer dizer que existe um número real
tal que para todo
em
, o valor absoluto de
é menor ou igual a
. Em outras palavras, a inclinação da função não fica infinitamente grande em nenhum ponto do intervalo.
Passo 4
Com a derivada limitada, podemos usar o Teorema do Valor Médio. Esse teorema nos diz que, entre dois pontos
e
em
, existe pelo menos um ponto
onde a derivada
é igual à taxa de variação média da função entre
e
. Como
está limitada por
, isso implica que a diferença
não pode ser maior que
.
Passo 5
Essa relação
nos mostra que
é uma função Lipschitz contínua. E uma função Lipschitz contínua é automaticamente uniformemente contínua. Isso porque a desigualdade nos garante que a variação em
está diretamente controlada pela variação em
, independentemente de onde estamos no intervalo.
Resposta
A afirmação (d) é verdadeira.