Indique a afirmação falsa.
(d) Sejam I ⊆ R um intervalo aberto e f: I -> R derivável em I. Se f' é limitada em I, então f é uniformemente contínua em I.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma afirmação que diz: “Seja um intervalo aberto e derivável em . Se é limitada em , então é uniformemente contínua em .” Nosso objetivo aqui é descobrir se essa afirmação é falsa. Para isso, vamos precisar entender sobre derivadas limitadas e continuidade uniforme.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser uniformemente contínua. Basicamente, isso quer dizer que, para qualquer pequena variação que a gente escolher no y (chamamos de ), a gente consegue encontrar uma variação correspondente no x (chamamos de ) que funciona para todo o intervalo , não importa onde a gente esteja nesse intervalo.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o que significa ter a derivada limitada. Se é limitada em , isso quer dizer que existe um número real tal que para todo em , o valor absoluto de é menor ou igual a . Em outras palavras, a inclinação da função não fica infinitamente grande em nenhum ponto do intervalo.

Passo 4

Com a derivada limitada, podemos usar o Teorema do Valor Médio. Esse teorema nos diz que, entre dois pontos e em , existe pelo menos um ponto onde a derivada é igual à taxa de variação média da função entre e . Como está limitada por , isso implica que a diferença não pode ser maior que .

Passo 5

Essa relação nos mostra que é uma função Lipschitz contínua. E uma função Lipschitz contínua é automaticamente uniformemente contínua. Isso porque a desigualdade nos garante que a variação em está diretamente controlada pela variação em , independentemente de onde estamos no intervalo.

Resposta

A afirmação (d) é verdadeira.

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