Mostre que, se z_{2} \neq z_{3}, então
\left|\frac{z_{1}}{z_{2}+z_{3}}\right| \leq \frac{\left|z_{1}\right|}{\left|\left|z_{2}\right|-\left|z_{3}\right|\right|} .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dados três números complexos z_{1},z_{2},z_{3} com z_{2}\neq z_{3}, vale a desigualdade
\left|\frac{z_{1}}{z_{2}+z_{3}}\right|\le \frac{|z_{1}|}{\bigl||z_{2}|-|z_{3}|\bigr|}.
O conteúdo principal é a desigualdade triangular para números complexos e a sua forma “invertida”.

Passo 2

Lembramos a desigualdade triangular: para quaisquer a,b\in\mathbb{C}
|a+b|\le|a|+|b|,
e a forma obtida trocando sinais, isto é, para quaisquer a,b
|a|-|b|\le|a-b|.

Passo 3

Aplicamos essa forma ao par \bigl(a,z_{3}\bigr) com a=z_{2}+z_{3}. Primeiro, escrevemos
|z_{2}| = |(z_{2}+z_{3}) - z_{3}|\le |z_{2}+z_{3}| + |z_{3}|,
logo
|z_{2}| - |z_{3}|\le |z_{2}+z_{3}|.
Trocando z_{2} por z_{3} na mesma ideia, obtemos
|z_{3}| - |z_{2}|\le |z_{2}+z_{3}|.
Combinando as duas, conclui-se
|z_{2}+z_{3}|\ge \bigl||z_{2}| - |z_{3}|\bigr|.

Passo 4

Como z_{2}\neq z_{3}, temos \bigl||z_{2}|-|z_{3}|\bigr|\neq0 e também |z_{2}+z_{3}|\neq0. Dividindo a desigualdade do passo anterior por |z_{2}+z_{3}| |z_{2}+z_{3}|\ge \bigl||z_{2}|-|z_{3}|\bigr| e isolando \tfrac1{|z_{2}+z_{3}|}, vem
\frac1{|z_{2}+z_{3}|}\le \frac1{\bigl||z_{2}| - |z_{3}|\bigr|}.
Multiplicando ambos os lados por |z_{1}| (que é não negativo) dá exatamente
\left|\frac{z_{1}}{z_{2}+z_{3}}\right| = \frac{|z_{1}|}{|z_{2}+z_{3}|}\le \frac{|z_{1}|}{\bigl||z_{2}| - |z_{3}|\bigr|}.

Resposta

\boxed{\left|\frac{z_{1}}{z_{2}+z_{3}}\right|\le \frac{|z_{1}|}{\bigl||z_{2}| - |z_{3}|\bigr|}.}

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