Exercício 8 Prove que |1+i z|=|1-i z| se, e somente se, z é um número real.

Passo 1

O enunciado nos pede para provar que
|1 + i\,z| = |1 - i\,z|
se, e somente se, z é um número real.
O conteúdo principal é o cálculo de módulo de número complexo, onde vamos escrever z em termos de sua parte real e imaginária e comparar os quadrados dos módulos.

Passo 2

Seja
z = x + i\,y,
com x,y\in\mathbb{R}. Então
1 + i\,z = 1 + i\,(x + i\,y) = 1 + i\,x - y
e
1 - i\,z = 1 - i\,(x + i\,y) = 1 - i\,x + y.

Passo 3

Para qualquer complexo w = u + i\,v, vale
|w|^2 = u^2 + v^2.
No nosso caso, em 1 + i\,z = (1 - y) + i\,x temos parte real u = 1 - y e parte imaginária v = x. Logo,
|1 + i\,z|^2 = (1 - y)^2 + x^2.

Passo 4

De modo análogo, em 1 - i\,z = (1 + y) + i\,( - x) a parte real é u = 1 + y e a parte imaginária é v = -x. Então
|1 - i\,z|^2 = (1 + y)^2 + (-x)^2 = (1 + y)^2 + x^2.

Passo 5

A condição |1 + i\,z| = |1 - i\,z| equivale a
|1 + i\,z|^2 = |1 - i\,z|^2,
isto é,
(1 - y)^2 + x^2 = (1 + y)^2 + x^2.
Cancelando x^2 e expandindo, obtemos
1 - 2y + y^2 = 1 + 2y + y^2 \quad\Longrightarrow\quad -2y = 2y \quad\Longrightarrow\quad y = 0.

Passo 6

Da igualdade y=0 segue que z = x + i\,0 = x\in\mathbb{R}. Assim provamos que se |1 + i\,z| = |1 - i\,z| então z é real.

Passo 7

Recíprocamente, se z\in\mathbb{R} então y=0 e
|1 + i\,z|^2 = (1-0)^2 + x^2 = 1 + x^2 \quad\text{e}\quad |1 - i\,z|^2 = (1+0)^2 + x^2 = 1 + x^2,
logo |1 + i\,z| = |1 - i\,z|. Isso completa a prova do “se, e somente se”.

Resposta

z é real.

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