Mostre que se z=r(cos theta+i sen theta) então barz=r(cos (-theta)+i sen(-theta)).

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Queremos mostrar que, se temos um número complexo na forma z = r(cos theta + i sin theta), então o seu conjugado, representado por barz, é igual a r(cos (-theta) + i sin (-theta)). Para resolver isso, vamos precisar conhecer os conceitos de números complexos e o que significa o conjugado de um número complexo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um número complexo. Um número complexo é uma expressão da forma z = a + b i, onde a é a parte real e b é a parte imaginária. No caso dado, o número complexo está na forma trigonométrica, que é z = r(cos theta + i sin theta), onde r é o módulo (ou a magnitude) do número complexo, e theta é o argumento (ou o ângulo).

Passo 3

O próximo conceito importante é o do conjugado de um número complexo. O conjugado de z = a + b i é dado por barz = a - b i. Ou seja, para encontrar o conjugado, simplesmente mudamos o sinal da parte imaginária.

Passo 4

Aplicando isso ao nosso número complexo z = r(cos theta + i sin theta), o conjugado seria:
barz = r(cos theta - i sin theta)
Agora, vamos observar que cos(-theta) = cos theta e sin(-theta) = -sin theta. Essas são propriedades das funções trigonométricas de seno e cosseno que dizem que o cosseno é uma função par e o seno é uma função ímpar.

Passo 5

Substituindo essas propriedades na expressão do conjugado, temos:
barz = r(cos (-theta) + i sin (-theta))
Isso mostra que o conjugado de z pode ser expresso usando ângulos negativos dentro das funções trigonométricas.

Resposta

Portanto, mostramos que se z = r(cos theta + i sin theta), então seu conjugado é barz = r(cos (-theta) + i sin (-theta)).

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