Mostre que se
então
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Queremos mostrar que, se temos um número complexo na forma
, então o seu conjugado, representado por
, é igual a
. Para resolver isso, vamos precisar conhecer os conceitos de números complexos e o que significa o conjugado de um número complexo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um número complexo. Um número complexo é uma expressão da forma
, onde
é a parte real e
é a parte imaginária. No caso dado, o número complexo está na forma trigonométrica, que é
, onde
é o módulo (ou a magnitude) do número complexo, e
é o argumento (ou o ângulo).
Passo 3
O próximo conceito importante é o do conjugado de um número complexo. O conjugado de
é dado por
. Ou seja, para encontrar o conjugado, simplesmente mudamos o sinal da parte imaginária.
Passo 4
Aplicando isso ao nosso número complexo
, o conjugado seria:
Agora, vamos observar que
e
. Essas são propriedades das funções trigonométricas de seno e cosseno que dizem que o cosseno é uma função par e o seno é uma função ímpar.
Passo 5
Substituindo essas propriedades na expressão do conjugado, temos:
Isso mostra que o conjugado de
pode ser expresso usando ângulos negativos dentro das funções trigonométricas.
Resposta
Portanto, mostramos que se
, então seu conjugado é
.