Use o Teste da Comparação ou Comparação no Limite para determinar a convergência ou a divergência das séries abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar o Teste da Comparação ou Comparação no Limite para descobrir se a série
converge ou diverge. Esse exercício está na área de Cálculo de Séries, especificamente tratando da convergência de séries. Para resolver, vamos precisar entender como comparar a nossa série com outra que já sabemos se ela converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a série que temos:
. Ela é uma série infinita onde cada termo é formado por
. Nosso objetivo é descobrir se a soma desses termos tende a um número finito (converge) ou cresce sem limite (diverge).
Passo 3
Para decidir isso, vamos usar o Teste da Comparação. Esse teste nos permite comparar a série que estamos estudando com outra série mais simples, conhecida como série de comparação. Se os termos da nossa série forem menores ou iguais aos da série de comparação e a série de comparação converge, então a nossa também converge. Se os termos forem maiores ou iguais e a série de comparação diverge, então a nossa também diverge.
Passo 4
Vamos escolher uma série de comparação apropriada. Olhando para
, percebemos que para valores grandes de
, o
no denominador se torna menos significativo. Então, podemos aproximar
.
Passo 5
Agora, consideramos a série
. Essa é uma série p, onde
. Sabemos que a série p converge se
e diverge se
. Como
, essa série diverge.
Passo 6
Como
para
, e sabemos que
diverge, pelo Teste da Comparação, a nossa série
também diverge.
Resposta
A série
diverge.