Use o Teste da Comparação ou Comparação no Limite para determinar a convergência ou a divergência das séries abaixo:
sumn=1^infty raiznn+4

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar o Teste da Comparação ou Comparação no Limite para descobrir se a série sumn=1^infty raiznn+4 converge ou diverge. Esse exercício está na área de Cálculo de Séries, especificamente tratando da convergência de séries. Para resolver, vamos precisar entender como comparar a nossa série com outra que já sabemos se ela converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a série que temos: sumn=1^infty raiznn+4. Ela é uma série infinita onde cada termo é formado por raiznn+4. Nosso objetivo é descobrir se a soma desses termos tende a um número finito (converge) ou cresce sem limite (diverge).

Passo 3

Para decidir isso, vamos usar o Teste da Comparação. Esse teste nos permite comparar a série que estamos estudando com outra série mais simples, conhecida como série de comparação. Se os termos da nossa série forem menores ou iguais aos da série de comparação e a série de comparação converge, então a nossa também converge. Se os termos forem maiores ou iguais e a série de comparação diverge, então a nossa também diverge.

Passo 4

Vamos escolher uma série de comparação apropriada. Olhando para raiznn+4, percebemos que para valores grandes de n, o +4 no denominador se torna menos significativo. Então, podemos aproximar raiznn+4 approx raiznn = 1raizn.

Passo 5

Agora, consideramos a série sumn=1^infty 1raizn. Essa é uma série p, onde p = 12. Sabemos que a série p converge se p > 1 e diverge se p <= 1. Como p = 12 <= 1, essa série diverge.

Passo 6

Como raiznn+4 >= raizn2n = 12raizn para n >= 1, e sabemos que sum 1raizn diverge, pelo Teste da Comparação, a nossa série sum raiznn+4 também diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty raiznn+4 diverge.

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