Qual é a relação que liga os argumentos de
e
?
Passo 1
Resumo do exercício: Temos dois números complexos $ z_{1} = 3 - 2i $ e $ z_{2} = -3 + 2i $. A tarefa é descobrir como os argumentos desses dois números estão relacionados. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o argumento de um número complexo e como calcular essa relação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o argumento de um número complexo. O argumento, representado por $ \arg(z) $, é o ângulo que o número complexo forma com o eixo real no plano complexo. Esse ângulo pode ser calculado usando a função tangente:
onde $ Re(z) $ é a parte real e $ Im(z) $ é a parte imaginária do número complexo $ z $.
Passo 3
Vamos calcular o argumento de $ z_{1} = 3 - 2i $. Aqui, a parte real é $ Re(z_{1}) = 3 $ e a parte imaginária é $ Im(z_{1}) = -2 $. Aplicando a fórmula:
Como a parte real é positiva e a imaginária é negativa, o argumento de $ z_{1} $ está no quarto quadrante do plano complexo.
Passo 4
Agora, vamos calcular o argumento de $ z_{2} = -3 + 2i $. Aqui, a parte real é $ Re(z_{2}) = -3 $ e a parte imaginária é $ Im(z_{2}) = 2 $. Aplicando a fórmula:
Como a parte real é negativa e a imaginária é positiva, o argumento de $ z_{2} $ está no segundo quadrante do plano complexo.
Passo 5
Observando os dois argumentos, percebemos que eles estão separados por $ \pi $ radianos (180 graus). Isso acontece porque $ z_{2} $ é basicamente o oposto de $ z_{1} $, ou seja, $ z_{2} = -z_{1} $. Multiplicar um número complexo por -1 inverte sua direção no plano complexo, adicionando $ \pi $ ao seu argumento.
Resposta
A relação que liga os argumentos de $ z_{1} $ e $ z_{2} $ é: