Qual é a relação que liga os argumentos de z1=3-2 i e z2=-3+2 i ?

Passo 1

Resumo do exercício: Temos dois números complexos $ z_{1} = 3 - 2i $ e $ z_{2} = -3 + 2i $. A tarefa é descobrir como os argumentos desses dois números estão relacionados. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o argumento de um número complexo e como calcular essa relação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o argumento de um número complexo. O argumento, representado por $ \arg(z) $, é o ângulo que o número complexo forma com o eixo real no plano complexo. Esse ângulo pode ser calculado usando a função tangente:
arg(z)
onde $ Re(z) $ é a parte real e $ Im(z) $ é a parte imaginária do número complexo $ z $.

Passo 3

Vamos calcular o argumento de $ z_{1} = 3 - 2i $. Aqui, a parte real é $ Re(z_{1}) = 3 $ e a parte imaginária é $ Im(z_{1}) = -2 $. Aplicando a fórmula:
z1 = 3 - 2i
Como a parte real é positiva e a imaginária é negativa, o argumento de $ z_{1} $ está no quarto quadrante do plano complexo.

Passo 4

Agora, vamos calcular o argumento de $ z_{2} = -3 + 2i $. Aqui, a parte real é $ Re(z_{2}) = -3 $ e a parte imaginária é $ Im(z_{2}) = 2 $. Aplicando a fórmula:
z2 = -3 + 2i
Como a parte real é negativa e a imaginária é positiva, o argumento de $ z_{2} $ está no segundo quadrante do plano complexo.

Passo 5

Observando os dois argumentos, percebemos que eles estão separados por $ \pi $ radianos (180 graus). Isso acontece porque $ z_{2} $ é basicamente o oposto de $ z_{1} $, ou seja, $ z_{2} = -z_{1} $. Multiplicar um número complexo por -1 inverte sua direção no plano complexo, adicionando $ \pi $ ao seu argumento.

Resposta

A relação que liga os argumentos de $ z_{1} $ e $ z_{2} $ é:
z1

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