Mostre que z0=0 é uma singularidade essencial da função f(z)=z^3 sen(1z).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que 0 é uma singularidade essencial de f(z)=z^3,sinl(1/zr). Vamos usar o conceito de singularidade isolada e a expansão em série de Laurent: um ponto é singularidade essencial se na expansão de Laurent há infinitos termos de potência negativa.

Passo 2

Começamos lembrando a expansão em série de Taylor-–Maclaurin de sin(w):
sin(w)=sumn=0^infty(-1)^nw^2n+1(2n+1)!
Substituindo w=1/z obtemos a expansão em Laurent de sin(1/z) em torno de z=0:
sinl(1/zr)=sumn=0^infty(-1)^n1(2n+1)!,z^-(2n+1)

Passo 3

Agora multiplicamos por z^3 para obter a expansão de f(z):
f(z)=z^3,sinl(1/zr)=z^3sumn=0^infty(-1)^n1(2n+1)!,z^-(2n+1) =sumn=0^infty(-1)^n1(2n+1)!,z^3-(2n+1) =sumn=0^infty(-1)^n1(2n+1)!,z^2-2n

Passo 4

Observamos que, para cada n>=1, o expoente 2-2n é negativo, e existem infinitos valores de n. Logo, a parte principal (termos com potências negativas de z) tem infinitos termos não nulos.

Passo 5

Pela definição de singularidade isolada, se a parte principal da expansão de Laurent numa vizinhança de z=0 possui infinitos termos não nulos, então z=0 é uma singularidade essencial de f.

Resposta

z=0 é singularidade essencial de f(z)=z^3,sinl(1/zr).

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