Mostre que
é uma singularidade essencial da função
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que 0 é uma singularidade essencial de
. Vamos usar o conceito de singularidade isolada e a expansão em série de Laurent: um ponto é singularidade essencial se na expansão de Laurent há infinitos termos de potência negativa.
Passo 2
Começamos lembrando a expansão em série de Taylor-–Maclaurin de
:
Substituindo
obtemos a expansão em Laurent de
em torno de
:
Passo 3
Agora multiplicamos por
para obter a expansão de
:
Passo 4
Observamos que, para cada
, o expoente
é negativo, e existem infinitos valores de
. Logo, a parte principal (termos com potências negativas de
) tem infinitos termos não nulos.
Passo 5
Pela definição de singularidade isolada, se a parte principal da expansão de Laurent numa vizinhança de
possui infinitos termos não nulos, então
é uma singularidade essencial de
.