Use os teoremas estudados para obtenção de resíduos de polos simples ou de ordem
para calcular o resíduo em cada polo da função dada.
Passo 1
A questão pede para calcular os resíduos de
f(z)=\frac{\cos z}{z{2}(z-\pi){3}}
nos polos z=0 (ordem 2) e z=\pi (ordem 3), usando o teorema do resíduo para pólos de ordem n, que diz:
f(z)=\frac{\cos z}{z{2}(z-\pi){3}}
nos polos z=0 (ordem 2) e z=\pi (ordem 3), usando o teorema do resíduo para pólos de ordem n, que diz:
Para pólo de ordem n em z_{0},
Passo 2
Para z=0: é um pólo de ordem 2. Aplicando o teorema:
Seja g(z)=\frac{\cos z}{(z-\pi)^{3}}. Então
g’(z)=\frac{-\sin z,(z-\pi)^{3}-\cos z,3(z-\pi){2}}{(z-\pi){6}}.
Logo,
g’(z)=\frac{-\sin z,(z-\pi)^{3}-\cos z,3(z-\pi){2}}{(z-\pi){6}}.
Logo,
Portanto, o resíduo em z=0 é -3/\pi^{4}.
Passo 3
Para z=\pi: é um pólo de ordem 3. Aplicando o teorema:
Defina h(z)=\frac{\cos z}{z^{2}}. Então calculamos h’’(z):
- h’(z)=-\frac{\sin z}{z^{2}}-2\frac{\cos z}{z^{3}},
- h’’(z)=-\frac{\cos z}{z^{2}}+4\frac{\sin z}{z^{3}}+6\frac{\cos z}{z^{4}}.
Avalia em z=\pi usando \cos\pi=-1 e \sin\pi=0:
Então
Resposta
Residue em z=0: -\dfrac{3}{\pi^{4}}; Residue em z=\pi: \dfrac{\pi{2}-6}{2,\pi{4}}.