Use os teoremas estudados para obtenção de resíduos de polos simples ou de ordem n para calcular o resíduo em cada polo da função dada.
f(z)=cos zz^2(z-pi)^3

Passo 1

A questão pede para calcular os resíduos de
f(z)=\frac{\cos z}{z{2}(z-\pi){3}}
nos polos z=0 (ordem 2) e z=\pi (ordem 3), usando o teorema do resíduo para pólos de ordem n, que diz:
Para pólo de ordem n em z_{0},
Res(f,z0)=1(n-1)!limzto z0d^n-1dz^n-1l[(z-z0)^nf(z)r]

Passo 2

Para z=0: é um pólo de ordem 2. Aplicando o teorema:
Res(f,0)=limzto0ddzl[z^2cos zz^2(z-pi)^3r] =limzto0ddzl[cos z(z-pi)^3r]
Seja g(z)=\frac{\cos z}{(z-\pi)^{3}}. Então
g’(z)=\frac{-\sin z,(z-\pi)^{3}-\cos z,3(z-\pi){2}}{(z-\pi){6}}.
Logo,
g'(0)=-sin0,(-pi)^3-cos0,3(-pi)^2(-pi)^6 =-0-3pi^2pi^6 =-3pi^4
Portanto, o resíduo em z=0 é -3/\pi^{4}.

Passo 3

Para z=\pi: é um pólo de ordem 3. Aplicando o teorema:
Res(f,pi)=12!limztopid^2dz^2l[(z-pi)^3cos zz^2(z-pi)^3r] =12limztopid^2dz^2l[cos zz^2r]
Defina h(z)=\frac{\cos z}{z^{2}}. Então calculamos h’’(z):
  1. h’(z)=-\frac{\sin z}{z^{2}}-2\frac{\cos z}{z^{3}},
  2. h’’(z)=-\frac{\cos z}{z^{2}}+4\frac{\sin z}{z^{3}}+6\frac{\cos z}{z^{4}}.
Avalia em z=\pi usando \cos\pi=-1 e \sin\pi=0:
h''(pi)=1pi^2-6pi^4=pi^2-6pi^4
Então
Res(f,pi)=12h''(pi)=pi^2-62,pi^4

Resposta

Residue em z=0: -\dfrac{3}{\pi^{4}}; Residue em z=\pi: \dfrac{\pi{2}-6}{2,\pi{4}}.

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