Mostre que (z1, z2),(w1, w2) subset C^2 é l.d. se e somente se z1 w2=z2 w1.

Passo 1

O enunciado pede para caracterizar a dependência linear de dois vetores em C^2, ou seja, mostrar que
(z1,z2),,(w1,w2)
é l.d. se, e só se,
z1w2 = z2w1
Vamos usar que em qualquer espaço vetorial de dimensão 2, dois vetores são l.d. exatamente quando um é múltiplo escalar do outro.

Passo 2

Suponha que (z1,z2),(w1,w2) seja l.d. Então existem alpha,betainC, não ambos zero, tais que
alpha,(z1,z2)+beta,(w1,w2)=(0,0)
Se betaneq0 podemos escrever
(z1,z2)=-betaalpha,(w1,w2)ou(w1,w2)=-alphabeta,(z1,z2),
mostrando que um é múltiplo escalar do outro.

Passo 3

Dessa relação de múltiplo escalar,
(z1,z2)=lambda,(w1,w2)
com lambdainC, segue que
z1=lambda w1 e z2=lambda w2
Multiplicando a primeira por w2 e a segunda por w1, obtemos
z1w2=lambda w1w2 e z2w1=lambda w2w1,
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z1w2 = z2w1

Passo 4

Agora suponha que
z1w2 = z2w1
Se (z1,z2) ou (w1,w2) for o vetor zero, a dependência é imediata. Caso contrário, um dos dois componentes de (w1,w2) é não nulo. Suponha w1neq0 (o caso w2neq0 é análogo). Então podemos definir
lambda = z1w1
Da igualdade z1w2=z2w1 segue
z2w2=z1w1=lambda,
e portanto
(z1,z2)=lambda,(w1,w2)
Isso mostra que os vetores são l.d.

Resposta

A família (z1,z2),(w1,w2) é linearmente dependente se, e somente se,
z1w2=z2w1

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