Mostre que
é l.d. se e somente se
.
Passo 1
O enunciado pede para caracterizar a dependência linear de dois vetores em
, ou seja, mostrar que
é l.d. se, e só se,
Vamos usar que em qualquer espaço vetorial de dimensão 2, dois vetores são l.d. exatamente quando um é múltiplo escalar do outro.
Passo 2
Suponha que
seja l.d. Então existem
, não ambos zero, tais que
Se
podemos escrever
mostrando que um é múltiplo escalar do outro.
Passo 3
Dessa relação de múltiplo escalar,
com
, segue que
Multiplicando a primeira por
e a segunda por
, obtemos
logo
Passo 4
Agora suponha que
Se
ou
for o vetor zero, a dependência é imediata. Caso contrário, um dos dois componentes de
é não nulo. Suponha
(o caso
é análogo). Então podemos definir
Da igualdade
segue
e portanto
Isso mostra que os vetores são l.d.
Resposta
A família
é linearmente dependente se, e somente se,