Sob que condições impostas ao escalar alpha in C os vetores (0,1, alpha),(alpha, 0,1) e (1+alpha, 1, alpha) formam uma base de C^3 ?

Passo 1

O enunciado pede as condições sobre o escalar alphainC para que os vetores
(0,1,alpha), (alpha,0,1) e (1+alpha,1,alpha) formem uma base de C^3.
Para isso, precisamos que eles sejam linearmente independentes, ou seja, que o determinante da matriz que eles formam seja diferente de zero.

Passo 2

Vamos organizar esses vetores como linhas de uma matriz M:
M = 0 & 1 & alpha [6pt] alpha & 0 & 1 [6pt] 1+alpha & 1 & alpha
Eles formam base se, e somente se, det(M) neq 0.]

Passo 3

Calculamos det(M) por expansão na primeira linha (regra de Laplace):
det(M) = 0cdotdet0 & 1 1 & alpha -1cdotdetalpha & 1 1+alpha & alpha +alphacdotdetalpha & 0 1+alpha & 1
Agora,
detalpha & 1 1+alpha & alpha =alpha^2-(1+alpha), detalpha & 0 1+alpha & 1 =alphacdot1-0cdot(1+alpha)=alpha
Logo,
det(M) =-l(alpha^2-(1+alpha)r)+alphacdotalpha =-alpha^2+1+alpha+alpha^2 =1+alpha

Passo 4

Para que os vetores sejam linearmente independentes, é necessário e suficiente que
det(M)=1+alphaneq 0,
ou seja,
alphaneq -1

Resposta

Os vetores formam uma base de C^3 se, e somente se,
alpha neq -1

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