(Motai) Duas cargas q_{1}=4,43 \mathrm{mC} e q_{2}=5,65 \mathrm{mC} estão fixas em x_{1}=0 \mathrm{~m} e x_{2}=1,0 \mathrm{~m}, respectivamente. Uma terceira carga q_{3}= 3,51 \mathrm{mC} é posicionada em x_{3}=2,3 \mathrm{~m}.
Qual é o módulo da força resultante que atua na terceira carga, em kN?

Passo 1

O que o problema pede: qual é o módulo da força resultante que atua na terceira carga q_{3} (colocada em x_{3}=2,3\\ \mathrm{m}), em kN.\n
Informações dadas:
q_{1}=4,43\\ \mathrm{mC},\quad x_{1}=0\\ \mathrm{m}
q_{2}=5,65\\ \mathrm{mC},\quad x_{2}=1{,}0\\ \mathrm{m}
q_{3}=3,51\\ \mathrm{mC},\quad x_{3}=2{,}3\\ \mathrm{m}
As cargas estão fixas em pontos da reta x. O enunciado pede o módulo da força resultante sobre q_{3}.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (a tal “aula” rápida): a interação elétrica entre duas cargas puntiformes é dada pela Lei de Coulomb. A intensidade da força entre duas cargas q_i e q_j, separadas por uma distância r, é
F = k\,\frac{|q_i q_j|}{r^{2}}.
Aqui:
  • F é a magnitude da força (em newtons, \mathrm{N});
  • k é a constante eletrostática k=8{,}988\times10^{9}\\ \mathrm{N\,m^{2}/C^{2}};
  • q_i,q_j são as cargas (em coulombs, \mathrm{C});
  • r é a distância entre elas (em metros, \mathrm{m}).\n
    Sempre converta mC para C: 1\\ \mathrm{mC}=10^{-3}\\ \mathrm{C}. Também é importante verificar a direção da força: cargas de mesmo sinal se repelem; o sentido (para a direita ou esquerda) depende de quem está à esquerda/direita de quem.

Passo 3

Converter as cargas para coulombs:
q_{1}=4{,}43\times10^{-3}\\ \mathrm{C},\quad q_{2}=5{,}65\times10^{-3}\\ \mathrm{C},\quad q_{3}=3{,}51\times10^{-3}\\ \mathrm{C}.

Passo 4

Calcular as distâncias entre q_{3} e as outras cargas (peguei essas distâncias dos dados de posição no enunciado):
r_{13}=|x_{3}-x_{1}|=|2{,}3-0|=2{,}3\\ \mathrm{m},
r_{23}=|x_{3}-x_{2}|=|2{,}3-1{,}0|=1{,}3\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Determinar a direção das forças sobre q_{3}:
  • q_{1} é positiva e está à esquerda de q_{3}; como cargas iguais se repelem, q_{1} empurra q_{3} para a direita (sentido +x).
  • q_{2} também é positiva e está entre q_{1} e q_{3}; ela também repele q_{3} para a direita (sentido +x).
    Portanto as duas forças sobre q_{3} têm o mesmo sentido (+x) e a força resultante é a soma das magnitudes.

Passo 6

Calcular a magnitude da força de q_{1} sobre q_{3} usando Coulomb. Primeiro calcule o produto das cargas:
q_{1}q_{3}=4{,}43\times10^{-3}\times3{,}51\times10^{-3}=1{,}55493\times10^{-5}\\ \mathrm{C^{2}}.
Agora a força:
F_{13}=k\frac{q_{1}q_{3}}{r_{13}^{2}}=8{,}988\times10^{9}\cdot\frac{1{,}55493\times10^{-5}}{(2{,}3)^{2}}.
Calcule r_{13}^{2}=(2{,}3)^{2}=5{,}29. Então
F_{13}=\frac{8{,}988\times10^{9}\cdot1{,}55493\times10^{-5}}{5{,}29}\approx2{,}6419\times10^{4}\\ \mathrm{N}.

Passo 7

Calcular a magnitude da força de q_{2} sobre q_{3}. Produto das cargas:
q_{2}q_{3}=5{,}65\times10^{-3}\times3{,}51\times10^{-3}=1{,}98315\times10^{-5}\\ \mathrm{C^{2}}.
Força:
F_{23}=k\frac{q_{2}q_{3}}{r_{23}^{2}}=8{,}988\times10^{9}\cdot\frac{1{,}98315\times10^{-5}}{(1{,}3)^{2}}.
Calcule r_{23}^{2}=(1{,}3)^{2}=1{,}69. Então
F_{23}=\frac{8{,}988\times10^{9}\cdot1{,}98315\times10^{-5}}{1{,}69}\approx1{,}05469\times10^{5}\\ \mathrm{N}.

Passo 8

Somar as duas forças (mesmo sentido, soma direta) para obter a força resultante sobre q_{3}:
F_{\text{res}}=F_{13}+F_{23}\approx2{,}6419\times10^{4}+1{,}05469\times10^{5}=1{,}31888\times10^{5}\\ \mathrm{N}.
Converter para kilonewtons dividindo por 10^{3}:
F_{\text{res}}\approx131{,}888\\ \mathrm{kN}.
Arredondando de forma razoável (três algarismos significativos, compatível com dados):
F_{\text{res}}\approx131{,}9\\ \mathrm{kN}.

Resposta

131{,}9\\ \mathrm{kN}

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