(Motai) Duas partículas são mantidas fixas em um eixo
. A partícula 1 , de carga
, está na origem,
, enquanto a partícula 2 , de carga
, está em
. Uma terceira partícula, com carga
, é posicionada entre as cargas, em
, e fica em equilíbrio.
Determine a razão entre as cargas 2 e
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a razão entre as cargas 2 e 1, isto é,
.
Informações dadas:
Informações dadas:
a partícula com carga
está entre
e
e permanece em equilíbrio (força total sobre
é zero).
Nada mais é pedido além de .
Nada mais é pedido além de
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (aula rápida): a força eletrostática entre duas cargas pontuais é dada pela Lei de Coulomb:
onde
é a constante eletrostática (não precisaremos do seu valor numérico),
e
são as cargas,
é a distância entre elas, e
é o versor que indica direção.
Equilíbrio significa que a soma vetorial das forças sobre é nula. Como as três cargas estão sobre o eixo
e
está entre as outras duas, as duas forças provenientes de
e
atuam em direções opostas sobre
. Para que se anulem, suas magnitudes devem ser iguais.
Equilíbrio significa que a soma vetorial das forças sobre
Passo 3
Escrevendo as magnitudes das forças sobre
: a força de
sobre
tem magnitude
e a força de
sobre
tem magnitude
Para equilíbrio temos
. Como
e
aparecem em ambos os lados, eles se cancelam. Assim obtemos a relação entre
e
(aqui consideramos magnitudes; a igualdade de sinais de
e
é necessária para que as forças apontem em sentidos opostos e possam se anular):
Passo 4
Isolando a razão pedida chegamos a
Aqui
é a distância entre
e
e
é a distância entre
e
.
Passo 5
Calculemos as distâncias usando os dados do enunciado:
Passo 6
Agora elevamos ao quadrado cada distância (mostro as contas para você poder reproduzir na prova sem calculadora, usando a expansão
quando útil):
(Usei a expansão ou multiplicação direta para obter esses valores; as unidades
vão se cancelar na razão.)
Passo 7
Finalmente a razão é
Portanto
é aproximadamente
vezes
. Note que o sinal de
é positivo:
e
devem ter o mesmo sinal para que as forças sobre
se anulem.