(Motai) Duas partículas são mantidas fixas em um eixo x. A partícula 1 , de carga q_{1}, está na origem, x_{1}=0, enquanto a partícula 2 , de carga q_{2}, está em x_{2}=+15,4 \mathrm{~mm}. Uma terceira partícula, com carga q_{3}, é posicionada entre as cargas, em x_{3}=4,17 \mathrm{~mm}, e fica em equilíbrio.
Determine a razão entre as cargas 2 e 1, q_{2} / q_{1}.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a razão entre as cargas 2 e 1, isto é, q_{2}/q_{1}.
Informações dadas:
x_{1}=0,\qquad x_{2}=+15,4\\ \mathrm{mm},\qquad x_{3}=4,17\\ \mathrm{mm},
a partícula com carga q_{3} está entre q_{1} e q_{2} e permanece em equilíbrio (força total sobre q_{3} é zero).
Nada mais é pedido além de q_{2}/q_{1}.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aula rápida): a força eletrostática entre duas cargas pontuais é dada pela Lei de Coulomb:
\mathbf{F} = k\,\frac{q_a q_b}{r^{2}}\\ \hat{r},
onde k é a constante eletrostática (não precisaremos do seu valor numérico), q_a e q_b são as cargas, r é a distância entre elas, e \hat{r} é o versor que indica direção.
Equilíbrio significa que a soma vetorial das forças sobre q_{3} é nula. Como as três cargas estão sobre o eixo x e q_{3} está entre as outras duas, as duas forças provenientes de q_{1} e q_{2} atuam em direções opostas sobre q_{3}. Para que se anulem, suas magnitudes devem ser iguais.

Passo 3

Escrevendo as magnitudes das forças sobre q_{3}: a força de q_{1} sobre q_{3} tem magnitude
F_{13}=k\,\frac{|q_{1} q_{3}|}{r_{13}^{2}}
e a força de q_{2} sobre q_{3} tem magnitude
F_{23}=k\,\frac{|q_{2} q_{3}|}{r_{23}^{2}}.
Para equilíbrio temos F_{13}=F_{23}. Como k e |q_{3}| aparecem em ambos os lados, eles se cancelam. Assim obtemos a relação entre q_{1} e q_{2} (aqui consideramos magnitudes; a igualdade de sinais de q_{1} e q_{2} é necessária para que as forças apontem em sentidos opostos e possam se anular):
\frac{|q_{1}|}{r_{13}^{2}}=\frac{|q_{2}|}{r_{23}^{2}}.

Passo 4

Isolando a razão pedida chegamos a
\frac{q_{2}}{q_{1}}=\frac{r_{23}^{2}}{r_{13}^{2}}.
Aqui r_{13} é a distância entre x_{1} e x_{3} e r_{23} é a distância entre x_{2} e x_{3}.

Passo 5

Calculemos as distâncias usando os dados do enunciado:
r_{13}=x_{3}-x_{1}=4,17\\ \mathrm{mm}-0=4,17\\ \mathrm{mm},
r_{23}=x_{2}-x_{3}=15,4\\ \mathrm{mm}-4,17\\ \mathrm{mm}=11,23\\ \mathrm{mm}.

Passo 6

Agora elevamos ao quadrado cada distância (mostro as contas para você poder reproduzir na prova sem calculadora, usando a expansão (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} quando útil):
r_{23}^{2}=(11,23)^{2}=126,1129\\ \mathrm{mm}^{2},
r_{13}^{2}=(4,17)^{2}=17,3889\\ \mathrm{mm}^{2}.
(Usei a expansão ou multiplicação direta para obter esses valores; as unidades \mathrm{mm}^{2} vão se cancelar na razão.)

Passo 7

Finalmente a razão é
\frac{q_{2}}{q_{1}}=\frac{126,1129}{17,3889}\approx 7,25.
Portanto q_{2} é aproximadamente 7,25 vezes q_{1}. Note que o sinal de q_{2}/q_{1} é positivo: q_{1} e q_{2} devem ter o mesmo sinal para que as forças sobre q_{3} se anulem.

Resposta

\displaystyle 7,25

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