(Motai) Duas partículas carregadas estão fixas no espaço, uma com carga
na origem, e a outra com carga
mC no ponto
.
Determine a distância até a origem, em cm, em que uma terceira carga
deverá ser colocada para ficar em equilíbrio.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a distância até a origem (em cm) onde devemos colocar a carga
para que ela fique em equilíbrio, dado que há duas cargas fixas sobre o eixo
:
em
e
em
.
Informações relevantes dadas:
O que se pede: a posição
(distância da origem) tal que a força resultante sobre
seja nula (equilíbrio).
Passo 2
Conceito físico e direção das forças (aula rápida e concreta).
A força elétrica entre duas cargas puntiformes é dada pela Lei de Coulomb:
A força elétrica entre duas cargas puntiformes é dada pela Lei de Coulomb:
onde
é a constante elétrica (não precisamos do valor numérico aqui),
e
são as cargas e
é a distância entre elas. Essa fórmula dá a magnitude da força; a direção é ao longo da linha que une as cargas e é repulsiva se as cargas têm mesmo sinal.
No nosso caso todas as cargas são positivas, então cada carga repele
. Se colocarmos
entre
e
, a força de
sobre
aponta para a direita e a força de
sobre
aponta para a esquerda — direções opostas, portanto pode existir um ponto com forças iguais em módulo e opostas (equilíbrio). Se
estivesse fora do intervalo entre as duas cargas, as forças teriam a mesma direção e não haveria equilíbrio. Conclusão: procurar
com
.
Passo 3
Escrever a condição de equilíbrio e simplificar.
Para , as magnitudes das forças de
e
sobre
devem ser iguais:
Para
Agora explico cada símbolo:
-
é a constante de Coulomb (mesma nos dois lados), -
são as cargas dadas, -
é a distância de até a origem (o que queremos), -
é a distância entre e .
Podemos simplificar:
cancela e também
(não é zero), restando
Passo 4
Resolver a equação para
, passo a passo.
Começamos tirando raiz quadrada dos dois lados. Como e
no intervalo considerado, tomamos a raiz positiva:
Começamos tirando raiz quadrada dos dois lados. Como
Agora multiplicamos em cruz:
Isolando
:
portanto
Essa é uma forma muito prática: a posição de equilíbrio fica mais perto da carga menor, porque a raiz da razão de cargas aparece no denominador.
Passo 5
Substituir os valores numéricos com conta detalhada.
Primeiro a razão das cargas:
Primeiro a razão das cargas:
Agora a raiz:
Denominador:
Finalmente a posição (usar
):
Detalhe sobre unidades: como usamos apenas razões e distâncias na mesma unidade (cm), o resultado já está em cm. Se tivéssemos usado metros, o resultado seria numericamente o mesmo em m, desde que constantes e unidades fossem consistentes — aqui as constantes cancelaram.
Passo 6
Checagem física e incentivo.
Verificamos que está entre
e
, como esperado. Notamos também que o ponto de equilíbrio está mais próximo de
(a carga menor), o que faz sentido: para equilibrar a repulsão maior de
(por ser maior),
precisa ficar mais perto de
para que a força de
(que decai rápido com a distância) compense.
Verificamos que
Boa! Você conseguiu chegar à expressão geral e ao número. Se quiser, eu mostro essa mesma conta resolvendo a equação quadrática sem tirar raiz (para ver a outra raiz descartada), ou com mais casas decimais — diga aí que eu explico.