(Motai) Duas partículas carregadas estão fixas no espaço, uma com carga q_{1}=+4,33 \mathrm{mC} na origem, e a outra com carga q_{2}=+8,65 mC no ponto x_{2}=74 \mathrm{~cm}.
Determine a distância até a origem, em cm, em que uma terceira carga q_{3}=4,04 \mathrm{mC} deverá ser colocada para ficar em equilíbrio.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a distância até a origem (em cm) onde devemos colocar a carga \,q_3=4,04\\ \mathrm{mC}\, para que ela fique em equilíbrio, dado que há duas cargas fixas sobre o eixo x: \,q_1=+4,33\\ \mathrm{mC}\, em x=0 e \,q_2=+8,65\\ \mathrm{mC}\, em x_2=74\\ \mathrm{cm}.
Informações relevantes dadas:
q_1=+4,33\\ \mathrm{mC},\qquad q_2=+8,65\\ \mathrm{mC},\qquad q_3=+4,04\\ \mathrm{mC},\qquad x_2=74\\ \mathrm{cm}.
O que se pede: a posição x (distância da origem) tal que a força resultante sobre \,q_3 seja nula (equilíbrio).

Passo 2

Conceito físico e direção das forças (aula rápida e concreta).
A força elétrica entre duas cargas puntiformes é dada pela Lei de Coulomb:
F = k\,\dfrac{|q_a q_b|}{r^2},
onde k é a constante elétrica (não precisamos do valor numérico aqui), q_a e q_b são as cargas e r é a distância entre elas. Essa fórmula dá a magnitude da força; a direção é ao longo da linha que une as cargas e é repulsiva se as cargas têm mesmo sinal.
No nosso caso todas as cargas são positivas, então cada carga repele \,q_3. Se colocarmos \,q_3 entre \,q_1 e \,q_2, a força de \,q_1 sobre \,q_3 aponta para a direita e a força de \,q_2 sobre \,q_3 aponta para a esquerda — direções opostas, portanto pode existir um ponto com forças iguais em módulo e opostas (equilíbrio). Se \,q_3 estivesse fora do intervalo entre as duas cargas, as forças teriam a mesma direção e não haveria equilíbrio. Conclusão: procurar x com 0<x<x_2.

Passo 3

Escrever a condição de equilíbrio e simplificar.
Para 0<x<x_2, as magnitudes das forças de \,q_1 e \,q_2 sobre \,q_3 devem ser iguais:
k\,\dfrac{q_1 q_3}{x^2} = k\,\dfrac{q_2 q_3}{(x_2 - x)^2}.
Agora explico cada símbolo:
  • k é a constante de Coulomb (mesma nos dois lados),
  • q_1,q_2,q_3 são as cargas dadas,
  • x é a distância de \,q_3 até a origem (o que queremos),
  • x_2-x é a distância entre \,q_3 e \,q_2.
Podemos simplificar: k cancela e também q_3 (não é zero), restando
\frac{q_1}{x^2}=\frac{q_2}{(x_2-x)^2}.

Passo 4

Resolver a equação para x, passo a passo.
Começamos tirando raiz quadrada dos dois lados. Como x>0 e x_2-x>0 no intervalo considerado, tomamos a raiz positiva:
\frac{\sqrt{q_1}}{x}=\frac{\sqrt{q_2}}{x_2-x}.
Agora multiplicamos em cruz:
x_2 - x = x\sqrt{\frac{q_2}{q_1}}.
Isolando x:
x_2 = x\left(1+\sqrt{\frac{q_2}{q_1}}\right)
portanto
x = \frac{x_2}{\,1+\sqrt{\dfrac{q_2}{q_1}}\,}.
Essa é uma forma muito prática: a posição de equilíbrio fica mais perto da carga menor, porque a raiz da razão de cargas aparece no denominador.

Passo 5

Substituir os valores numéricos com conta detalhada.
Primeiro a razão das cargas:
\frac{q_2}{q_1}=\frac{8,65}{4,33}\approx 1,99769.
Agora a raiz:
\sqrt{\frac{q_2}{q_1}}\approx\sqrt{1,99769}\approx 1,4134.
Denominador:
1+\sqrt{\frac{q_2}{q_1}}\approx 1+1,4134=2,4134.
Finalmente a posição (usar x_2=74\\ \mathrm{cm}):
x=\frac{74}{2,4134}\\ \mathrm{cm}\approx 30,66\\ \mathrm{cm}.
Detalhe sobre unidades: como usamos apenas razões e distâncias na mesma unidade (cm), o resultado já está em cm. Se tivéssemos usado metros, o resultado seria numericamente o mesmo em m, desde que constantes e unidades fossem consistentes — aqui as constantes cancelaram.

Passo 6

Checagem física e incentivo.
Verificamos que x\approx 30,66\\ \mathrm{cm} está entre 0 e 74\\ \mathrm{cm}, como esperado. Notamos também que o ponto de equilíbrio está mais próximo de \,q_1 (a carga menor), o que faz sentido: para equilibrar a repulsão maior de \,q_2 (por ser maior), \,q_3 precisa ficar mais perto de \,q_1 para que a força de \,q_1 (que decai rápido com a distância) compense.
Boa! Você conseguiu chegar à expressão geral e ao número. Se quiser, eu mostro essa mesma conta resolvendo a equação quadrática sem tirar raiz (para ver a outra raiz descartada), ou com mais casas decimais — diga aí que eu explico.

Resposta

30,66\\ \mathrm{cm}

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