As duas forças \mathbf{F}_{1} e \mathbf{F}_{2} que atuam em A têm uma força resultante \mathbf{F}_{R}=\{-100 \mathbf{k}\} \mathrm{lb}. Determine a intensidade e os ângulos diretores coordenados de \mathbf{F}_{2}.

Passo 1

O enunciado pede que eu determine a intensidade (magnitude) e os ângulos diretores coordenados de \mathbf{F}_{2}. As informações dadas no enunciado são:
\mathbf{F}_{R}=\{-100\mathbf{k}\}\\ \text{lb}.
Informações que NÃO foram fornecidas (e que são relevantes):
  • Não foi informada a força \mathbf{F}_{1} (nem seus componentes, nem sua intensidade e direção).
  • Não foi enviada uma figura que contenha \mathbf{F}_{1} ou seus componentes.
    Como o enunciado depende de \mathbf{F}_{1} para achar \mathbf{F}_{2}, a falta desses dados impede um cálculo numérico direto.

Passo 2

Conceito-chave e fórmula que resolve o problema (aulas rápidas):
  • Resultado vetorial: quando duas forças atuam simultaneamente em um ponto, a força resultante é a soma vetorial:
\mathbf{F}_{R}=\mathbf{F}_{1}+\mathbf{F}_{2}.
  • Isolando \mathbf{F}_{2} obtemos a fórmula prática que vamos usar:
\mathbf{F}_{2}=\mathbf{F}_{R}-\mathbf{F}_{1}.
Explicando: aqui \mathbf{F}_{R}, \mathbf{F}_{1} e \mathbf{F}_{2} são vetores com três componentes cartesianas, por exemplo \mathbf{F}_{1}=\{F_{1x}\mathbf{i}+F_{1y}\mathbf{j}+F_{1z}\mathbf{k}\}. Subtrair vetores significa subtrair componente a componente.

Passo 3

Como obter as componentes de \mathbf{F}_{2} (passo a passo conceitual):
  • Escreva \mathbf{F}_{1}=\{F_{1x}\mathbf{i}+F_{1y}\mathbf{j}+F_{1z}\mathbf{k}\} e \mathbf{F}_{R}=\{F_{Rx}\mathbf{i}+F_{Ry}\mathbf{j}+F_{Rz}\mathbf{k}\}.
  • Então as componentes de \mathbf{F}_{2} são
F_{2x}=F_{Rx}-F_{1x},\qquad F_{2y}=F_{Ry}-F_{1y},\qquad F_{2z}=F_{Rz}-F_{1z}.
No seu caso, pela informação dada na figura/enunciado temos (peguei do enunciado) \mathbf{F}_{R}=\{0\mathbf{i}+0\mathbf{j}-100\mathbf{k}\}, ou seja
F_{Rx}=0,\quad F_{Ry}=0,\quad F_{Rz}=-100.

Passo 4

Como calcular a intensidade (magnitude) de \mathbf{F}_{2}:
  • Fórmula: a intensidade (norma) de um vetor \mathbf{F}_{2}=\{F_{2x}\mathbf{i}+F_{2y}\mathbf{j}+F_{2z}\mathbf{k}\} é
\|\mathbf{F}_{2}\|=\sqrt{F_{2x}^{2}+F_{2y}^{2}+F_{2z}^{2}}.
Expliquei: F_{2x} é a componente em x, F_{2y} em y e F_{2z} em z. Basta substituir as componentes obtidas no passo anterior e calcular a raiz quadrada.

Passo 5

Como calcular os ângulos diretores coordenados de \mathbf{F}_{2}:
  • Definição: os ângulos diretores \alpha,\beta,\gamma são os ângulos que o vetor faz com os eixos x,y,z, e suas cossenos são chamados de cosenos diretores:
\cos\alpha=\frac{F_{2x}}{\|\mathbf{F}_{2}\|},\qquad \cos\beta=\frac{F_{2y}}{\|\mathbf{F}_{2}\|},\qquad \cos\gamma=\frac{F_{2z}}{\|\mathbf{F}_{2}\|}.
  • Para obter os ângulos em graus:
\alpha=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{F_{2x}}{\|\mathbf{F}_{2}\|}\right),\quad \beta=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{F_{2y}}{\|\mathbf{F}_{2}\|}\right),\quad \gamma=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{F_{2z}}{\|\mathbf{F}_{2}\|}\right).
Observação didática: se um cosseno for negativo, o ângulo será maior que 90^\circ; isso é normal — significa que a componente aponta no sentido negativo do eixo.

Passo 6

Algoritmo prático que você deve executar na prova (resumido, sem números faltantes):
  1. Determine ou leia as componentes F_{1x},F_{1y},F_{1z} da força \mathbf{F}_{1} (pela figura ou pelos dados).
  2. Use F_{2x}=0-F_{1x}, F_{2y}=0-F_{1y}, F_{2z}=-100-F_{1z} (porque peguei \mathbf{F}_{R}=\{0,0,-100\}).
  3. Calcule \|\mathbf{F}_{2}\|=\sqrt{F_{2x}^{2}+F_{2y}^{2}+F_{2z}^{2}}.
  4. Calcule \alpha,\beta,\gamma por \operatorname{arccos} dos respectivos quocientes.
  5. Interprete sinais: se uma componente for negativa, o respectivo ângulo será obtuso.

Passo 7

Exemplo numérico ilustrativo (isto é só um exemplo para você ver as contas; NÃO é a resposta do seu exercício, pois eu tive que supor \mathbf{F}_{1}):
Suponha, apenas para mostrar as contas, que a figura desse \mathbf{F}_{1} com componentes
\mathbf{F}_{1}=\{40\mathbf{i}+30\mathbf{j}+200\mathbf{k}\}\\ \text{lb}.
Então
F_{2x}=0-40=-40,\quad F_{2y}=0-30=-30,\quad F_{2z}=-100-200=-300.
Magnitude:
\|\mathbf{F}_{2}\|=\sqrt{(-40)^{2}+(-30)^{2}+(-300)^{2}} =\sqrt{1600+900+90000}=\sqrt{92500}\approx 304,13\\ \text{lb}.
Cosenos diretores:
\cos\alpha=\frac{-40}{304,13}\approx -0,1316,\quad \alpha\approx 97,6^\circ,
\cos\beta=\frac{-30}{304,13}\approx -0,0986,\quad \beta\approx 95,7^\circ,
\cos\gamma=\frac{-300}{304,13}\approx -0,9868,\quad \gamma\approx 170,6^\circ.
Comentário: esse trecho mostra exatamente as operações que você fará na prova assim que souber \mathbf{F}_{1}.

Passo 8

Conclusão e o que falta para eu te dar a resposta numérica exata:
  • Não posso calcular a intensidade e os ângulos diretores de \mathbf{F}_{2} sem saber \mathbf{F}_{1} (ou sem a figura que mostra \mathbf{F}_{1}).
  • Se você me enviar os componentes de \mathbf{F}_{1} — isto é, F_{1x},F_{1y},F_{1z} — ou a figura que contém \mathbf{F}_{1} com dados numéricos, eu aplico imediatamente os passos acima e te devolvo a intensidade e os três ângulos, com contas detalhadas.

Resposta

Não é possível determinar numericamente a intensidade e os ângulos diretores de \mathbf{F}_{2} porque \mathbf{F}_{1} não foi fornecida; é necessário conhecer os componentes (ou a magnitude e direção) de \mathbf{F}_{1} para calcular \mathbf{F}_{2}=\mathbf{F}_{R}-\mathbf{F}_{1}.

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