(Motai) Duas partículas carregadas estão fixas no espaço, uma com carga positiva
na origem, e a outra com carga negativa
no ponto
.
Determine a distância até a origem, em cm, em que uma terceira carga
deverá ser colocada para ficar em equilíbrio.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a distância até a origem, em cm, onde devemos colocar uma terceira carga
para que ela fique em equilíbrio (força resultante nula), sabendo que há duas cargas fixas no eixo
:
em
e
em
.
Informações dadas:
O que precisamos encontrar: a abscissa
( distância até a origem, em cm ) tal que a força elétrica resultante sobre
seja zero.
Passo 2
Relembre a lei de Coulomb (a receita básica): a força entre duas cargas pontuais
e
separadas por uma distância
tem módulo
onde
é a constante eletrostática (não precisamos do valor numérico de
porque ele se cancela ao igualarmos forças). O sentido da força depende dos sinais: cargas de mesmo sinal se repelem (força dirigida a afastá‑las) e de sinais opostos se atraem (força dirigida a aproximá‑las). Aqui todas as cargas estão sobre o eixo
, então só precisamos comparar sentidos (direção para a esquerda ou direita) e módulos.
Passo 3
Analisar em que região ao longo do eixo
pode haver equilíbrio. Existem três regiões a considerar:
-
(à esquerda da origem); -
(entre as duas cargas); -
(à direita de ).
Vamos verificar os sentidos das forças que atuam em
em cada região (lembrando que
,
e
):
- Se
: (positivo) repele para a direita; (negativo) atrai também para a direita. As duas forças têm o mesmo sentido → não podem se cancelar → sem equilíbrio interno. - Se
: (origem) repele para a esquerda; (à direita) atrai para a direita. As forças têm sentidos opostos → possível equilíbrio matematicamente, mas devemos verificar se a equação dá solução nesta região. - Se
: (à esquerda) repele para a direita; (à esquerda e negativa) atrai para a esquerda. De novo forças opostas → possível equilíbrio.
Como
tem módulo bem maior que
, faz sentido esperar a posição de equilíbrio do lado direito de
; vamos resolvê‑la e verificar consistência.
Passo 4
Definimos a posição procurada como
(distância da origem, em cm). Para
as distâncias são:
Módulos das forças sobre
:
Em
as duas forças têm sentidos opostos; equilíbrio exige igualdade dos módulos:
Cancelamos
e
(ambos positivos) e obtemos a equação fundamental a resolver:
Passo 5
Resolver a equação. Tomando raízes quadradas (tomamos a raiz positiva porque distâncias são positivas):
Isolando
:
Passo 6
Agora substituímos os valores numéricos (atenção: uso vírgula como separador decimal conforme solicitado):
Calcule as raízes:
Calcule o numerador e denominador:
Portanto
Verificação rápida:
é maior que
, então a hipótese
é consistente. As outras regiões não produzem solução física consistente com os sinais, então esta é a posição correta.