(Motai) Duas partículas carregadas estão fixas no espaço, uma com carga positiva q_{1}=+8,8 \mathrm{mC} na origem, e a outra com carga negativa q_{2}=-1,11 \mathrm{mC} no ponto x_{2}=37,3 \mathrm{~cm}.
Determine a distância até a origem, em cm, em que uma terceira carga q_{3}=2,02 \mathrm{mC} deverá ser colocada para ficar em equilíbrio.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a distância até a origem, em cm, onde devemos colocar uma terceira carga \,q_{3}=2,02\\ \mathrm{mC}\, para que ela fique em equilíbrio (força resultante nula), sabendo que há duas cargas fixas no eixo x: \,q_{1}=+8,8\\ \mathrm{mC}\, em x_{1}=0 e \,q_{2}=-1,11\\ \mathrm{mC}\, em x_{2}=37,3\\ \mathrm{cm}.
Informações dadas:
q_{1}=+8,8\\ \mathrm{mC},\quad q_{2}=-1,11\\ \mathrm{mC},\quad q_{3}=+2,02\\ \mathrm{mC},\quad x_{2}=37,3\\ \mathrm{cm}.
O que precisamos encontrar: a abscissa x ( distância até a origem, em cm ) tal que a força elétrica resultante sobre q_{3} seja zero.

Passo 2

Relembre a lei de Coulomb (a receita básica): a força entre duas cargas pontuais \,q_i e \,q_j separadas por uma distância r tem módulo
F = k\frac{|q_i q_j|}{r^2},
onde k é a constante eletrostática (não precisamos do valor numérico de k porque ele se cancela ao igualarmos forças). O sentido da força depende dos sinais: cargas de mesmo sinal se repelem (força dirigida a afastá‑las) e de sinais opostos se atraem (força dirigida a aproximá‑las). Aqui todas as cargas estão sobre o eixo x, então só precisamos comparar sentidos (direção para a esquerda ou direita) e módulos.

Passo 3

Analisar em que região ao longo do eixo x pode haver equilíbrio. Existem três regiões a considerar:
  • x<0 (à esquerda da origem);
  • 0<x<x_{2} (entre as duas cargas);
  • x>x_{2} (à direita de q_{2}).
Vamos verificar os sentidos das forças que atuam em q_{3} em cada região (lembrando que q_{3}>0, q_{1}>0 e q_{2}<0):
  • Se 0<x<x_{2}: q_{1} (positivo) repele q_{3} para a direita; q_{2} (negativo) atrai q_{3} também para a direita. As duas forças têm o mesmo sentido → não podem se cancelar → sem equilíbrio interno.
  • Se x<0: q_{1} (origem) repele q_{3} para a esquerda; q_{2} (à direita) atrai q_{3} para a direita. As forças têm sentidos opostos → possível equilíbrio matematicamente, mas devemos verificar se a equação dá solução nesta região.
  • Se x>x_{2}: q_{1} (à esquerda) repele q_{3} para a direita; q_{2} (à esquerda e negativa) atrai q_{3} para a esquerda. De novo forças opostas → possível equilíbrio.
Como q_{1} tem módulo bem maior que |q_{2}|, faz sentido esperar a posição de equilíbrio do lado direito de q_{2}; vamos resolvê‑la e verificar consistência.

Passo 4

Definimos a posição procurada como x (distância da origem, em cm). Para x>x_{2} as distâncias são:
r_{1}=x-0=x,\qquad r_{2}=x-x_{2}.
Módulos das forças sobre q_{3}:
F_{1}=k\frac{q_{1}q_{3}}{r_{1}^{2}}=k\frac{q_{1}q_{3}}{x^{2}},\qquad F_{2}=k\frac{|q_{2}|q_{3}}{r_{2}^{2}}=k\frac{|q_{2}|q_{3}}{(x-x_{2})^{2}}.
Em x>x_{2} as duas forças têm sentidos opostos; equilíbrio exige igualdade dos módulos:
k\frac{q_{1}q_{3}}{x^{2}}=k\frac{|q_{2}|q_{3}}{(x-x_{2})^{2}}.
Cancelamos k e q_{3} (ambos positivos) e obtemos a equação fundamental a resolver:
\frac{q_{1}}{x^{2}}=\frac{|q_{2}|}{(x-x_{2})^{2}}.

Passo 5

Resolver a equação. Tomando raízes quadradas (tomamos a raiz positiva porque distâncias são positivas):
\frac{\sqrt{q_{1}}}{x}=\frac{\sqrt{|q_{2}|}}{x-x_{2}}.
Isolando x:
\sqrt{q_{1}}\,(x-x_{2})=\sqrt{|q_{2}|}\,x
\sqrt{q_{1}}\,x-\sqrt{q_{1}}\,x_{2}=\sqrt{|q_{2}|}\,x
x\bigl(\sqrt{q_{1}}-\sqrt{|q_{2}|}\bigr)=\sqrt{q_{1}}\,x_{2}
x=\frac{\sqrt{q_{1}}\,x_{2}}{\sqrt{q_{1}}-\sqrt{|q_{2}|}}.

Passo 6

Agora substituímos os valores numéricos (atenção: uso vírgula como separador decimal conforme solicitado):
q_{1}=8,8,\quad |q_{2}|=1,11,\quad x_{2}=37,3\\ \mathrm{cm}.
Calcule as raízes:
\sqrt{q_{1}}=\sqrt{8,8}\approx 2,9664793948, \qquad \sqrt{|q_{2}|}=\sqrt{1,11}\approx 1,053565375.
Calcule o numerador e denominador:
\sqrt{q_{1}}\,x_{2}\approx 2,9664793948\cdot 37,3 \approx 110,649681426,
\sqrt{q_{1}}-\sqrt{|q_{2}|}\approx 2,9664793948-1,053565375\approx 1,912914020.
Portanto
x\approx\frac{110,649681426}{1,912914020}\approx 57,8435\\ \mathrm{cm}.
Verificação rápida: x\approx 57,84\\ \mathrm{cm} é maior que x_{2}=37,3\\ \mathrm{cm}, então a hipótese x>x_{2} é consistente. As outras regiões não produzem solução física consistente com os sinais, então esta é a posição correta.

Resposta

57,84\\ \mathrm{cm}

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