Uma moto custa \ 6.000,00$ à vista, porém, após um acordo feito entre o comprador e o vendedor, ficou acertado que o pagamento seria feito em 3 parcelas trimestrais iguais, vencendo a primeira daqui a 3 meses. Calcule o valor das parcelas sabendo que a taxa de juros é de 3% a.m., a data focal é a zero e o critério desconto racional simples.
R: $ 2.350,83

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Preço à vista da moto: \$\,6.000,00.
  • Foi combinado pagamento em 3 parcelas trimestrais iguais (mesmas quantias), com vencimentos em:
    • primeira parcela: daqui a 3 meses;
    • segunda parcela: daqui a 6 meses;
    • terceira parcela: daqui a 9 meses.
  • Taxa de juros: \,3\% ao mês (ou seja, i=0,03 por mês).
  • Data focal: zero (ou seja, vamos trazer todos os valores a valor presente em t=0).
  • Critério: desconto racional simples (portanto usaremos a fórmula adequada para descontar valores futuros a valor presente sob juros simples).
    O que precisa ser calculado: o valor de cada parcela (as três parcelas têm o mesmo valor, vamos chamá‑lo de X).

Passo 2

Entendendo o que é “desconto racional simples” (aula rápida e sem mistério).
  • Sob juros simples, a relação entre valor presente P e valor futuro (ou valor nominal) A após n períodos é
A = P\,(1 + i n),
onde i é a taxa por período e n o número de períodos.
  • Se você conhece A e quer encontrar o valor presente P que gera A por juros simples, basta isolar P:
P = \frac{A}{1 + i n}.
  • Esse procedimento (dividir o valor futuro por 1+in) é exatamente o desconto racional simples: você obtém o valor presente “por dentro” (não subtrai juros sobre o nominal, mas calcula quantos reais hoje equivalem ao valor futuro considerando juros simples).
  • Aqui: para uma parcela de valor X que vence em n meses, o valor presente dessa parcela, trazida para t=0, é
\text{PV da parcela}=\frac{X}{1 + i n},
com i=0,03 (por mês) e n em meses.

Passo 3

Aplicando isso às três parcelas (cada parcela tem o mesmo valor \,X):
  • Primeira parcela vence em 3 meses, então seu valor presente é
\frac{X}{1 + 0,03\cdot 3}=\frac{X}{1{,}09}.
  • Segunda parcela vence em 6 meses, então seu valor presente é
\frac{X}{1 + 0,03\cdot 6}=\frac{X}{1{,}18}.
  • Terceira parcela vence em 9 meses, então seu valor presente é
\frac{X}{1 + 0,03\cdot 9}=\frac{X}{1{,}27}.
(Observe que multipliquei a taxa mensal pelo número de meses para obter in.)

Passo 4

Montando a equação do valor presente total:
  • Como o comprador pagaria as três parcelas no futuro, o valor presente total dessas três parcelas (somando as três PVs) deve ser igual ao preço à vista aceito hoje, \$\,6.000,00. Portanto
\frac{X}{1{,}09}+\frac{X}{1{,}18}+\frac{X}{1{,}27}=6.000.

Passo 5

Isolando X:
  • Coloco X em evidência:
X\left(\frac{1}{1{,}09}+\frac{1}{1{,}18}+\frac{1}{1{,}27}\right)=6.000.
  • Logo
X=\frac{6.000}{\dfrac{1}{1{,}09}+\dfrac{1}{1{,}18}+\dfrac{1}{1{,}27}}.
  • Para facilitar a conta exata das frações, noto que 1{,}09=\dfrac{109}{100}, 1{,}18=\dfrac{118}{100}=\dfrac{59}{50}, 1{,}27=\dfrac{127}{100}. Assim as recíprocas são
\frac{1}{1{,}09}=\frac{100}{109},\qquad \frac{1}{1{,}18}=\frac{100}{118}=\frac{50}{59},\qquad \frac{1}{1{,}27}=\frac{100}{127}.
Mas, para obter o valor numérico da parcela, é prático calcular as aproximações decimais com precisão de centavos.

Passo 6

Cálculo numérico com cuidado para centavos:
  • Calculo aproximado (com precisão suficiente) de cada termo:
\frac{1}{1{,}09}\approx 0{,}9174311927,
\frac{1}{1{,}18}\approx 0{,}8474576271,
\frac{1}{1{,}27}\approx 0{,}7874015748.
  • Somando esses três valores:
\frac{1}{1{,}09}+\frac{1}{1{,}18}+\frac{1}{1{,}27}\approx 0{,}9174311927+0{,}8474576271+0{,}7874015748\approx 2{,}5522903946.
  • Agora divido o preço à vista por essa soma:
X\approx\frac{6.000}{2{,}5522903946}\approx 2.350{,}828\ldots
  • Arredondando para centavos (dois decimais), obtemos
X\approx 2.350{,}83.

Passo 7

Interpretação final e checagem rápida:
  • Cada parcela será de \$\,2.350{,}83.
  • Verificação rápida: multiplicando essa parcela pelas recíprocas somadas dá aproximadamente \$\,6.000, ou seja, o valor presente das três parcelas é o valor à vista pedido — condição do problema satisfeita.

Resposta

\$\,2.350{,}83

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