Uma moto custa
6.000,00$ à vista, porém, após um acordo feito entre o comprador e o vendedor, ficou acertado que o pagamento seria feito em 3 parcelas trimestrais iguais, vencendo a primeira daqui a 3 meses. Calcule o valor das parcelas sabendo que a taxa de juros é de 3% a.m., a data focal é a zero e o critério desconto racional simples.
R: $ 2.350,83
R: $ 2.350,83
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Preço à vista da moto:
. - Foi combinado pagamento em 3 parcelas trimestrais iguais (mesmas quantias), com vencimentos em:
- primeira parcela: daqui a 3 meses;
- segunda parcela: daqui a 6 meses;
- terceira parcela: daqui a 9 meses.
- Taxa de juros:
ao mês (ou seja, por mês). - Data focal: zero (ou seja, vamos trazer todos os valores a valor presente em
). - Critério: desconto racional simples (portanto usaremos a fórmula adequada para descontar valores futuros a valor presente sob juros simples).
O que precisa ser calculado: o valor de cada parcela (as três parcelas têm o mesmo valor, vamos chamá‑lo de).
Passo 2
Entendendo o que é “desconto racional simples” (aula rápida e sem mistério).
- Sob juros simples, a relação entre valor presente
e valor futuro (ou valor nominal) após períodos é
onde
é a taxa por período e
o número de períodos.
- Se você conhece
e quer encontrar o valor presente que gera por juros simples, basta isolar :
- Esse procedimento (dividir o valor futuro por
) é exatamente o desconto racional simples: você obtém o valor presente “por dentro” (não subtrai juros sobre o nominal, mas calcula quantos reais hoje equivalem ao valor futuro considerando juros simples). - Aqui: para uma parcela de valor
que vence em meses, o valor presente dessa parcela, trazida para , é
com
(por mês) e
em meses.
Passo 3
Aplicando isso às três parcelas (cada parcela tem o mesmo valor
):
- Primeira parcela vence em 3 meses, então seu valor presente é
- Segunda parcela vence em 6 meses, então seu valor presente é
- Terceira parcela vence em 9 meses, então seu valor presente é
(Observe que multipliquei a taxa mensal pelo número de meses para obter
.)
Passo 4
Montando a equação do valor presente total:
- Como o comprador pagaria as três parcelas no futuro, o valor presente total dessas três parcelas (somando as três PVs) deve ser igual ao preço à vista aceito hoje,
. Portanto
Passo 5
Isolando
:
- Coloco
em evidência:
- Logo
- Para facilitar a conta exata das frações, noto que
, , . Assim as recíprocas são
Mas, para obter o valor numérico da parcela, é prático calcular as aproximações decimais com precisão de centavos.
Passo 6
Cálculo numérico com cuidado para centavos:
- Calculo aproximado (com precisão suficiente) de cada termo:
- Somando esses três valores:
- Agora divido o preço à vista por essa soma:
- Arredondando para centavos (dois decimais), obtemos
Passo 7
Interpretação final e checagem rápida:
- Cada parcela será de
. - Verificação rápida: multiplicando essa parcela pelas recíprocas somadas dá aproximadamente
, ou seja, o valor presente das três parcelas é o valor à vista pedido — condição do problema satisfeita.