Márcia tem duas dívidas, sendo uma de \ 3.500,00 com vencimento para 5 meses e outra de$1.500,00$ com vencimento para hoje. Ela pretende renegociar essas dívidas para liquidá-las em um único pagamento com vencimento para daqui a 4 meses. Qual o valor dessa nova dívida, considerando o critério de desconto racional simples, data focal quatro e taxa de 4% a.m.?
R: $ 5.105,38

Passo 1

O enunciado pede: renegociar duas dívidas para liquidá‑las em um único pagamento com vencimento para daqui a 4 meses, usando o critério de desconto racional simples e taxa de 4\% ao mês, e informar o valor dessa nova dívida.
Informações dadas:
  • Dívida A: \$3.500,00 com vencimento em 5 meses.
  • Dívida B: \$1.500,00 com vencimento hoje (ou seja, tempo zero).
  • Data focal: daqui a 4 meses.
  • Taxa de juros/desconto: i=4\% ao mês, ou seja i=0,04 por mês.

Passo 2

Entendimento do que precisa ser feito (sem ainda calcular): devemos trazer cada dívida para o mesmo instante (data focal = 4 meses) e somá‑las. Para isso usamos dois procedimentos distintos:
  • Para uma quantia que vence depois da data focal (dívida A, que vence em 5 meses), precisamos “trazer para trás” o valor futuro até a data focal. Com desconto racional simples (também chamado de desconto por dentro), o valor na data anterior (valor descontado) é obtido dividindo o valor nominal pelo fator 1+in, onde n é o número de períodos entre as datas.
  • Para uma quantia que vence antes ou hoje (dívida B, que vence hoje), para obter seu valor na data focal devemos capitalizá‑la (juro simples) até essa data, multiplicando pelo fator 1+in.
Agora explico com calma as fórmulas e o que cada símbolo significa.

Passo 3

Fórmula do desconto racional simples (para levar um valor futuro N para uma data anterior por n períodos):
PV=\frac{N}{1+i\,n}
Onde:
  • PV é o valor na data anterior (ou valor presente relativo àquela data focal),
  • N é o valor nominal futuro (valor da dívida na data de vencimento),
  • i é a taxa por período (aqui i=0,04),
  • n é o número de períodos entre a data focal e o vencimento (aqui n=1 mês, pois 5-4=1).
Aplicando à dívida A ( N= \$3.500,00, n=1, i=0,04):
PV_A=\frac{3500}{1+0,04\cdot 1}=\frac{3500}{1,04}.
Faço a conta exata usando fração: 1,04=\tfrac{26}{25}, então
PV_A=\frac{3500}{1,04}=\frac{3500\cdot 25}{26}=\frac{87500}{26}=3365,384615\ldots
Arredondando para centavos (dois decimais), obtemos
PV_A=\$3.365,38.

Passo 4

Fórmula do juro simples (para levar um valor presente P para frente n períodos):
FV=P(1+i\,n)
Onde:
  • FV é o valor na data futura (aqui, na data focal),
  • P é o valor atual (ou valor na data inicial),
  • i e n como antes.
Aplicando à dívida B ( P=\$1.500,00, n=4, i=0,04):
FV_B=1500(1+0,04\cdot 4)=1500(1+0,16)=1500\cdot 1,16.
Faço a multiplicação:
1500\cdot 1,16=1500 + 1500\cdot 0,16=1500 + 240 = 1740.
Portanto
FV_B=\$1.740,00.

Passo 5

Somamos os valores das duas dívidas já trazidos para a data focal (4 meses):
\text{Total} = PV_A + FV_B = 3365,384615\ldots + 1740 = 5105,384615\ldots
Arredondando para centavos:
\text{Total} = \$5.105,38.

Resposta

\$5.105,38

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