Seja
o conjunto dos polinômios reais de grau menor ou igual a
. Seja
dado por
.
é linear? Se for, determine seu núcleo, a dimensão do núcleo, sua imagem e a dimensão da imagem.
Exercício 3. (Apostol seção 2.4 exercício 24)
Exercício 3. (Apostol seção 2.4 exercício 24)
Passo 1
O enunciado considera o espaço vetorial
dos polinômios reais de grau
(dimensão
) e a aplicação
O que se pede é verificar se
é linear e, em caso afirmativo, determinar
,
,
e
.
Passo 2
Vamos mostrar que
preserva soma e produto por escalar. Dados
e
,
Logo
é linear.
Passo 3
Para encontrar
, resolvemos
, ou seja
Isso implica que
é o polinômio nulo. Portanto
e daí
Passo 4
Para a imagem, tomemos um polinômio arbitrário
. Definimos
Então
e
Isso mostra que todo
está na imagem de
, ou seja
Como
, segue