Seja Pn o conjunto dos polinômios reais de grau menor ou igual a n. Seja T: Pn Pn dado por T(p)(x)=p(x+1). T é linear? Se for, determine seu núcleo, a dimensão do núcleo, sua imagem e a dimensão da imagem.
Exercício 3. (Apostol seção 2.4 exercício 24)

Passo 1

O enunciado considera o espaço vetorial Pn dos polinômios reais de grau <= n (dimensão n+1) e a aplicação
Tcolon PntoPn, T(p)(x)=p(x+1)
O que se pede é verificar se T é linear e, em caso afirmativo, determinar ker T, dim(ker T), ImT e dim(ImT).

Passo 2

Vamos mostrar que T preserva soma e produto por escalar. Dados p,qinPn e alpha,betainR,
T(alpha p + beta q)(x) =(alpha p + beta q)(x+1) =alpha,p(x+1)+beta,q(x+1) =alpha,T(p)(x)+beta,T(q)(x)
Logo T é linear.

Passo 3

Para encontrar ker T, resolvemos T(p)=0, ou seja
p(x+1)=0forall xinR
Isso implica que p é o polinômio nulo. Portanto
ker T = 0,
e daí
dim(ker T)=0

Passo 4

Para a imagem, tomemos um polinômio arbitrário qinPn. Definimos
p(x)=q(x-1)
Então pinPn e
T(p)(x)=p(x+1)=ql((x+1)-1r)=q(x)
Isso mostra que todo q está na imagem de T, ou seja
ImT=Pn
Como dimPn=n+1, segue
dim(ImT)=n+1

Resposta

T é linear.
ker T=0, dim(ker T)=0.
ImT=Pn, dim(ImT)=n+1.

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