Uma motocicleta parte de uma cidade, em direção a outra, a uma velocidade constante de
. Meia hora depois, uma segunda motocicleta parte do mesmo ponto, na mesma direção, a uma velocidade de
. Determine.
a) A equação horária de cada motocicleta, considerando como instante inicial o momento em que o segundo motociclista parte.
b) O instante da ultrapassagem
c) A posição da ultrapassagem.
d) A distância entre as motocicletas quando
.
a) A equação horária de cada motocicleta, considerando como instante inicial o momento em que o segundo motociclista parte.
b) O instante da ultrapassagem
c) A posição da ultrapassagem.
d) A distância entre as motocicletas quando
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
- A primeira motocicleta tem velocidade constante
. - A segunda motocicleta tem velocidade constante
. - A segunda parte meia hora depois da primeira; o enunciado pede que tomemos como instante inicial o momento em que a segunda parte.
Perguntas:
a) Obter a equação horária de cada motocicleta, tomando quando a segunda parte.
b) Determinar o instante (valor de ) em que ocorre a ultrapassagem.
c) Determinar a posição (distância do ponto de partida) onde ocorre a ultrapassagem.
d) Calcular a distância entre as motocicletas quando .
a) Obter a equação horária de cada motocicleta, tomando
b) Determinar o instante (valor de
c) Determinar a posição (distância do ponto de partida) onde ocorre a ultrapassagem.
d) Calcular a distância entre as motocicletas quando
Passo 2
Escolher referência e apresentar a fórmula básica (muito importante para resolver este tipo de problema).
Definição e escolha:
- Escolho a origem
no ponto de partida comum das motocicletas. - Tomo
em horas e defino exatamente quando a segunda motocicleta parte (isso é pedido no enunciado).
Fórmula do movimento retilíneo uniforme (MRU):
onde:
-
é a posição no instante (em ), -
é a posição inicial no instante escolhido como zero (em ), -
é a velocidade constante (em ), -
é o tempo decorrido desde o instante inicial (em ).
Observação sobre unidades: como velocidades estão em
, é natural usar
em horas. Para converter minutos em horas divide-se por
: por exemplo,
.
Passo 3
Determinar as posições iniciais (no instante
, que é a partida da segunda motocicleta).
- A segunda motocicleta parte no instante
da origem, logo sua posição inicial é
- A primeira motocicleta partiu meia hora antes. Meia hora é
. Em meia hora, à velocidade , a primeira já percorreu
Portanto, no instante
(partida da segunda), a primeira está a
da origem. Assim
Passo 4
Escrever explicitamente as equações horárias pedidas (resposta da letra a).
Usando
para cada motocicleta:
- Primeira motocicleta (velocidade
, posição inicial ):
- Segunda motocicleta (velocidade
, parte da origem):
Explicação curta: em
somamos a posição já obtida antes da partida da segunda (
) ao avanço adicional
. Em
a segunda começa em zero e andou
.
Passo 5
Determinar o instante da ultrapassagem (letra b). A ultrapassagem ocorre quando as posições coincidem:
.
Escrever a igualdade e resolver:
Passo a passo da álgebra:
Logo
Converter para forma decimal e para minutos:
Em minutos:
Portanto a ultrapassagem ocorre em
após a partida da segunda.
Passo 6
Determinar a posição da ultrapassagem (letra c). Basta substituir o
encontrado em qualquer das equações horárias (checar com as duas é uma boa prática).
Usando
:
Calcular:
Logo
Verificação rápida com
:
coincide, portanto está correto.
Passo 7
Calcular a distância entre as motocicletas quando
(letra d).
Primeiro converter
para horas:
Calcular posições em
:
- Primeira:
- Segunda:
Distância entre elas (valor absoluto da diferença de posições):
Interpretação: aos
a segunda já havia ultrapassado a primeira e está
à frente.
Resposta
(a)
e
com
em horas, contado desde a partida da segunda.
(b)
(c)
(d) Distância em :
(b)
(c)
(d) Distância em