Uma motocicleta parte de uma cidade, em direção a outra, a uma velocidade constante de 70 \mathrm{~km} / \mathrm{h}. Meia hora depois, uma segunda motocicleta parte do mesmo ponto, na mesma direção, a uma velocidade de 110 \mathrm{~km} / \mathrm{h}. Determine.
a) A equação horária de cada motocicleta, considerando como instante inicial o momento em que o segundo motociclista parte.
b) O instante da ultrapassagem
c) A posição da ultrapassagem.
d) A distância entre as motocicletas quando t=90 \mathrm{~mm}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • A primeira motocicleta tem velocidade constante 70\\ \mathrm{km/h}.
  • A segunda motocicleta tem velocidade constante 110\\ \mathrm{km/h}.
  • A segunda parte meia hora depois da primeira; o enunciado pede que tomemos como instante inicial o momento em que a segunda parte.
Perguntas:
a) Obter a equação horária de cada motocicleta, tomando t=0 quando a segunda parte.
b) Determinar o instante (valor de t) em que ocorre a ultrapassagem.
c) Determinar a posição (distância do ponto de partida) onde ocorre a ultrapassagem.
d) Calcular a distância entre as motocicletas quando t=90\\ \mathrm{min}.

Passo 2

Escolher referência e apresentar a fórmula básica (muito importante para resolver este tipo de problema).
Definição e escolha:
  • Escolho a origem x=0 no ponto de partida comum das motocicletas.
  • Tomo t em horas e defino t=0 exatamente quando a segunda motocicleta parte (isso é pedido no enunciado).
Fórmula do movimento retilíneo uniforme (MRU):
x(t)=x_0+v\,t
onde:
  • x(t) é a posição no instante t (em \mathrm{km}),
  • x_0 é a posição inicial no instante escolhido como zero (em \mathrm{km}),
  • v é a velocidade constante (em \mathrm{km/h}),
  • t é o tempo decorrido desde o instante inicial (em \mathrm{h}).
Observação sobre unidades: como velocidades estão em \mathrm{km/h}, é natural usar t em horas. Para converter minutos em horas divide-se por 60: por exemplo, 90\\ \mathrm{min}=\dfrac{90}{60}=1,5\\ \mathrm{h}.

Passo 3

Determinar as posições iniciais (no instante t=0, que é a partida da segunda motocicleta).
  • A segunda motocicleta parte no instante t=0 da origem, logo sua posição inicial é
x_{2}(0)=0.
  • A primeira motocicleta partiu meia hora antes. Meia hora é \dfrac{1}{2}\\ \mathrm{h}=0,5\\ \mathrm{h}. Em meia hora, à velocidade 70\\ \mathrm{km/h}, a primeira já percorreu
\Delta x = 70\cdot 0,5 = 35\\ \mathrm{km}.
Portanto, no instante t=0 (partida da segunda), a primeira está a 35\\ \mathrm{km} da origem. Assim
x_{1}(0)=35\\ \mathrm{km}.

Passo 4

Escrever explicitamente as equações horárias pedidas (resposta da letra a).
Usando x(t)=x_0+v t para cada motocicleta:
  • Primeira motocicleta (velocidade 70\\ \mathrm{km/h}, posição inicial 35\\ \mathrm{km}):
x_{1}(t)=35+70\,t\quad(\mathrm{km}),\quad t\\ \text{em horas}.
  • Segunda motocicleta (velocidade 110\\ \mathrm{km/h}, parte da origem):
x_{2}(t)=110\,t\quad(\mathrm{km}),\quad t\\ \text{em horas}.
Explicação curta: em x_{1}(t) somamos a posição já obtida antes da partida da segunda ( 35\\ \mathrm{km}) ao avanço adicional 70t. Em x_{2}(t) a segunda começa em zero e andou 110t.

Passo 5

Determinar o instante da ultrapassagem (letra b). A ultrapassagem ocorre quando as posições coincidem: x_{1}(t)=x_{2}(t).
Escrever a igualdade e resolver:
35+70\,t = 110\,t.
Passo a passo da álgebra:
35 = 110\,t - 70\,t = 40\,t.
Logo
t = \dfrac{35}{40} = \dfrac{7}{8}\\ \mathrm{h}.
Converter para forma decimal e para minutos:
\dfrac{7}{8}=0,875\\ \mathrm{h}.
Em minutos:
0,875\\ \mathrm{h}\times 60\\ \frac{\mathrm{min}}{\mathrm{h}} = 52,5\\ \mathrm{min}=52\\ \mathrm{min}\\\ 30\\ \mathrm{s}.
Portanto a ultrapassagem ocorre em t=\dfrac{7}{8}\\ \mathrm{h}=0,875\\ \mathrm{h}=52\\ \mathrm{min}\\\ 30\\ \mathrm{s} após a partida da segunda.

Passo 6

Determinar a posição da ultrapassagem (letra c). Basta substituir o t encontrado em qualquer das equações horárias (checar com as duas é uma boa prática).
Usando x_{2}(t)=110t:
x_{\text{ultrap}} = 110\cdot \dfrac{7}{8} = \dfrac{110\cdot 7}{8}.
Calcular:
110\cdot 7 = 770,\quad \dfrac{770}{8}=96,25.
Logo
x_{\text{ultrap}}=96,25\\ \mathrm{km}.
Verificação rápida com x_{1}(t):
x_{1}\!\left(\tfrac{7}{8}\right)=35+70\cdot \tfrac{7}{8}=35+\dfrac{490}{8}=35+61,25=96,25\\ \mathrm{km},
coincide, portanto está correto.

Passo 7

Calcular a distância entre as motocicletas quando t=90\\ \mathrm{min} (letra d).
Primeiro converter 90\\ \mathrm{min} para horas:
90\\ \mathrm{min}=\dfrac{90}{60}=1,5\\ \mathrm{h}.
Calcular posições em t=1,5\\ \mathrm{h}:
  • Primeira:
x_{1}(1,5)=35+70\cdot 1,5 = 35 + 105 = 140\\ \mathrm{km}.
  • Segunda:
x_{2}(1,5)=110\cdot 1,5 = 165\\ \mathrm{km}.
Distância entre elas (valor absoluto da diferença de posições):
d = |x_{2}-x_{1}| = |165-140| = 25\\ \mathrm{km}.
Interpretação: aos 90\\ \mathrm{min} a segunda já havia ultrapassado a primeira e está 25\\ \mathrm{km} à frente.

Resposta

(a) x_{1}(t)=35+70\,t\\ \mathrm{(km)} e x_{2}(t)=110\,t\\ \mathrm{(km)}, com t em horas, contado desde a partida da segunda.
(b) t=\dfrac{7}{8}\\ \mathrm{h}=0,875\\ \mathrm{h}=52\\ \mathrm{min}\\\ 30\\ \mathrm{s}.
(c) x_{\text{ultrap}}=96,25\\ \mathrm{km}.
(d) Distância em t=90\\ \mathrm{min}: 25\\ \mathrm{km}.

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