Uma pessoa comum desafia um atleta profissional para uma corrida. O atleta decide dar uma vantagem de partir 30 m á frente, e ambos começam a correr, o profissional mantendo uma velocidade de 8 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e o amador a 6 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Sendo uma corrida de 400 m , determine quem chegará primeiro.

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (resumido claramente):
  • Comprimento total da corrida: 400\\ \text{m}.
  • Vantagem dada ao amador: 30\\ \text{m} (ou seja, o amador parte 30\\ \text{m} à frente da linha de largada do profissional).
  • Velocidade do atleta profissional: 8\\ \text{m}/\text{s}.
  • Velocidade do amador: 6\\ \text{m}/\text{s}.
    O enunciado pede: determinar quem chega primeiro à linha de chegada (quem vence a corrida de 400\\ \text{m}).

Passo 2

Converter a vantagem em distâncias que cada um precisa percorrer até a chegada.
  • O profissional parte da linha inicial e precisa correr toda a prova: distância a percorrer pelo profissional =400\\ \text{m}.
  • O amador parte 30\\ \text{m} adiantado, portanto precisa correr até o final a partir de 30\\ \text{m}; distância a percorrer pelo amador =400-30=370\\ \text{m}.

Passo 3

Apresentar a fórmula básica e explicar (a matéria essencial aqui).
  • Fórmula usada: tempo é distância dividida por velocidade.
  • Escrever a fórmula e explicar cada símbolo:
t=\frac{d}{v}
onde t é o tempo (em segundos se d estiver em metros e v em metros por segundo), d é a distância (em metros) e v é a velocidade (em metros por segundo).
  • Comentário didático: essa fórmula vem de \text{velocidade}=\dfrac{\text{distância}}{\text{tempo}}â isolando o tempo. É válida porque as velocidades dadas são constantes.

Passo 4

Calcular o tempo que o profissional leva até a chegada usando a fórmula.
t_{\text{prof}}=\frac{400}{8}
Calcule: 400\div8=50. Portanto
t_{\text{prof}}=50\\ \text{s}.

Passo 5

Calcular o tempo que o amador leva até a chegada usando a fórmula.
t_{\text{amador}}=\frac{370}{6}
Simplificando a fração: \dfrac{370}{6}=\dfrac{185}{3} segundos. Em forma decimal:
t_{\text{amador}}=\dfrac{185}{3}\\ \text{s}\approx61{,}67\\ \text{s}.
(Explicação adicional: 6\times61=366 e sobram 4 metros, 4/6=\tfrac{2}{3} s, logo 61\tfrac{2}{3}\\ \text{s}=61{,}666\ldots\\ \text{s}.)

Passo 6

Comparar os tempos e decidir quem vence.
  • Temos t_{\text{prof}}=50\\ \text{s} e t_{\text{amador}}=\dfrac{185}{3}\\ \text{s}\approx61{,}67\\ \text{s}.
  • Como 50<61{,}67, o profissional chega primeiro.
  • Diferença de tempo (por curiosidade útil em prova):
t_{\text{amador}}-t_{\text{prof}}=\dfrac{185}{3}-50=\dfrac{35}{3}\\ \text{s}\approx11{,}67\\ \text{s}.

Passo 7

Verificação alternativa (ideia de movimento relativo, útil em provas):
  • Inicialmente o amador tem 30\\ \text{m} de vantagem. A velocidade relativa com que o profissional se aproxima do amador é
v_{\text{rel}}=8-6=2\\ \text{m}/\text{s}.
  • Tempo para o profissional alcançar o amador:
t_{\text{alcance}}=\frac{30}{2}=15\\ \text{s}.
  • Nesse instante o ponto onde se encontram é 8\cdot15=120\\ \text{m} a partir da linha do profissional, bem antes dos 400\\ \text{m}. Depois de ultrapassar, o profissional segue mais rápido e mantém a vantagem até a linha de chegada, o que confirma o resultado anterior.

Resposta

O atleta profissional chega primeiro; tempos: profissional 50\\ \text{s}, amador \dfrac{185}{3}\\ \text{s}\approx61{,}67\\ \text{s}.

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