Um motociclista está parado em um cruzamento, quando o sinal abre ele arranca com aceleração constante. Muitos metros a frente existe um radar que multa por excesso de velocidade. Qual a velocidade máxima que o motociclista pode atingir antes de passar pelo radar para não ser multado?
Passo 1
O enunciado diz: um motociclista parte do repouso num cruzamento e, com aceleração constante, segue em direção a um radar que está a uma certa distância à frente. Quando ele passar pelo radar, se estiver acima do limite de velocidade será multado.
As informações relevantes (que o enunciado implica, mesmo sem valores numéricos) são:
As informações relevantes (que o enunciado implica, mesmo sem valores numéricos) são:
- velocidade inicial
(ele está parado); - aceleração constante
(valor desconhecido, mas constante); - distância entre o ponto de partida e o radar
(muitos metros à frente, representamos por ); - existe um limite de velocidade do radar, que vou chamar de
.
A pergunta que precisamos responder: qual é a velocidade máxima que o motociclista pode atingir antes de passar pelo radar para não ser multado? (ou seja, relacionar a velocidade que ele terá ao alcançar o radar com os dados disponíveis, e a condição para não ultrapassar).
Passo 2
Escolha do método e princípio físico que usaremos (sem pular coisa): como a aceleração é constante, a relação mais direta entre velocidade, aceleração e deslocamento é a equação cinemática que liga velocidade ao deslocamento sem usar o tempo:
Vou ensinar de onde vem essa fórmula de forma bem didática. Começamos da definição de aceleração média/instantânea:
Usando a regra da cadeia, escrevemos
. Como
, temos
Agora separamos variáveis e integramos em relação ao deslocamento
:
Integramos dos valores iniciais aos finais: do ponto inicial (onde
e
) até o ponto final (onde
e
):
Como
é constante, a integração dá
que reorganizando fornece a fórmula usada:
Essa fórmula é muito prática em provas porque elimina o tempo
.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso problema com as condições iniciais:
(parado) e o deslocamento até o radar é
. Substituindo em
temos
logo a velocidade que o motociclista atingirá ao chegar ao radar (ou imediatamente antes de passar por ele, se não houver frenagem) é
Expliquei passo a passo: primeiro escrevemos a equação que relaciona velocidade e deslocamento, depois substituímos
e
.
Passo 4
Agora interpretamos a resposta em termos de multa. Para não ser multado, a velocidade ao passar pelo radar deve ser menor ou igual ao limite:
Substituindo
obtemos a condição
Elevando ambos os lados ao quadrado (e lembrando que tudo é não-negativo),
Isolando
(se quisermos saber qual a aceleração máxima permitida para não ultrapassar o limite, dado
):
Alternativamente, isolando
(se soubermos
e quisermos saber a distância mínima para atingir o limite):
Passo 5
Vou mostrar um exemplo numérico para ficar mais concreto (isso ajuda a aplicar na prova): suponha
e
. Então
Converter para km/h (lembrando que
):
Se o limite do radar fosse
(ou
), então
está abaixo do limite e não haveria multa. Se o limite fosse
, nesse exemplo ele seria multado.
Outra aplicação rápida: se o limite for (ou
) e a distância
, a aceleração máxima permitida sem ultrapassar o limite é
Outra aplicação rápida: se o limite for
Passo 6
Resumo prático para a prova (passos que você deve fazer rapidamente num exercício assim):
- Identifique
(aqui é ), e . - Use a fórmula
(derivada acima). - Calcule
. - Compare com o limite: se
então não é multado; caso contrário, é multado.
Se precisarem isolarou , reorganize a desigualdade como mostrei em
Resposta
Para não ser multado é necessário