Um motociclista está parado em um cruzamento, quando o sinal abre ele arranca com aceleração constante. Muitos metros a frente existe um radar que multa por excesso de velocidade. Qual a velocidade máxima que o motociclista pode atingir antes de passar pelo radar para não ser multado?

Passo 1

O enunciado diz: um motociclista parte do repouso num cruzamento e, com aceleração constante, segue em direção a um radar que está a uma certa distância à frente. Quando ele passar pelo radar, se estiver acima do limite de velocidade será multado.
As informações relevantes (que o enunciado implica, mesmo sem valores numéricos) são:
  • velocidade inicial v_0 = 0 (ele está parado);
  • aceleração constante a (valor desconhecido, mas constante);
  • distância entre o ponto de partida e o radar d (muitos metros à frente, representamos por d);
  • existe um limite de velocidade do radar, que vou chamar de v_{\text{lim}}.
    A pergunta que precisamos responder: qual é a velocidade máxima que o motociclista pode atingir antes de passar pelo radar para não ser multado? (ou seja, relacionar a velocidade que ele terá ao alcançar o radar com os dados disponíveis, e a condição para não ultrapassar v_{\text{lim}}).

Passo 2

Escolha do método e princípio físico que usaremos (sem pular coisa): como a aceleração é constante, a relação mais direta entre velocidade, aceleração e deslocamento é a equação cinemática que liga velocidade ao deslocamento sem usar o tempo:
v^{2}=v_{0}^{2}+2a\Delta x.
Vou ensinar de onde vem essa fórmula de forma bem didática. Começamos da definição de aceleração média/instantânea:
a=\frac{dv}{dt}.
Usando a regra da cadeia, escrevemos \frac{dv}{dt}=\frac{dv}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}. Como \frac{dx}{dt}=v, temos
a = v\frac{dv}{dx}.
Agora separamos variáveis e integramos em relação ao deslocamento x:
a\,dx = v\,dv.
Integramos dos valores iniciais aos finais: do ponto inicial (onde v=v_0 e x=0) até o ponto final (onde v=v e x=\Delta x):
\int_{0}^{\Delta x} a\,dx = \int_{v_0}^{v} v\,dv.
Como a é constante, a integração dá
a\Delta x = \frac{1}{2}\bigl(v^{2}-v_{0}^{2}\bigr),
que reorganizando fornece a fórmula usada:
v^{2}=v_{0}^{2}+2a\Delta x.
Essa fórmula é muito prática em provas porque elimina o tempo t.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso problema com as condições iniciais: v_{0}=0 (parado) e o deslocamento até o radar é \Delta x = d. Substituindo em
v^{2}=v_{0}^{2}+2a\Delta x
temos
v^{2}=0+2ad,
logo a velocidade que o motociclista atingirá ao chegar ao radar (ou imediatamente antes de passar por ele, se não houver frenagem) é
v=\sqrt{2ad}.
Expliquei passo a passo: primeiro escrevemos a equação que relaciona velocidade e deslocamento, depois substituímos v_0 e \Delta x.

Passo 4

Agora interpretamos a resposta em termos de multa. Para não ser multado, a velocidade ao passar pelo radar deve ser menor ou igual ao limite:
v \le v_{\text{lim}}.
Substituindo v=\sqrt{2ad} obtemos a condição
\sqrt{2ad}\le v_{\text{lim}}.
Elevando ambos os lados ao quadrado (e lembrando que tudo é não-negativo),
2ad \le v_{\text{lim}}^{2}.
Isolando a (se quisermos saber qual a aceleração máxima permitida para não ultrapassar o limite, dado d):
a \le \frac{v_{\text{lim}}^{2}}{2d}.
Alternativamente, isolando d (se soubermos a e quisermos saber a distância mínima para atingir o limite):
d \ge \frac{v_{\text{lim}}^{2}}{2a}.

Passo 5

Vou mostrar um exemplo numérico para ficar mais concreto (isso ajuda a aplicar na prova): suponha a=2{,}0\\ \mathrm{m/s^{2}} e d=50\\ \mathrm{m}. Então
v=\sqrt{2\cdot 2{,}0 \cdot 50}=\sqrt{200}=14{,}142\\ \mathrm{m/s}.
Converter para km/h (lembrando que 1\\ \mathrm{m/s}=3{,}6\\ \mathrm{km/h}):
v=14{,}142\cdot 3{,}6 \approx 50{,}9\\ \mathrm{km/h}.
Se o limite do radar fosse v_{\text{lim}}=60\\ \mathrm{km/h} (ou 16{,}67\\ \mathrm{m/s}), então v está abaixo do limite e não haveria multa. Se o limite fosse 50\\ \mathrm{km/h}, nesse exemplo ele seria multado.
Outra aplicação rápida: se o limite for v_{\text{lim}}=90\\ \mathrm{km/h} (ou 25\\ \mathrm{m/s}) e a distância d=100\\ \mathrm{m}, a aceleração máxima permitida sem ultrapassar o limite é
a_{\max}=\frac{v_{\text{lim}}^{2}}{2d}=\frac{25^{2}}{2\cdot 100}=\frac{625}{200}=3{,}125\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 6

Resumo prático para a prova (passos que você deve fazer rapidamente num exercício assim):
  1. Identifique v_0 (aqui é 0), a e d.
  2. Use a fórmula \;v^{2}=v_{0}^{2}+2a\Delta x\; (derivada acima).
  3. Calcule v=\sqrt{2ad}.
  4. Compare com o limite: se v\le v_{\text{lim}} então não é multado; caso contrário, é multado.
    Se precisarem isolar a ou d, reorganize a desigualdade como mostrei em

Resposta

v=\sqrt{2ad}.
Para não ser multado é necessário \sqrt{2ad}\le v_{\text{lim}}, isto é a\le \dfrac{v_{\text{lim}}^{2}}{2d}.

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