Um motociclista salta para fora da borda de um penhasco. No ponto exato da borda, sua velocidade é horizontal e possui módulo igual a
. A partir de um referencial apropriado, responda os itens a seguir:
(a) Determine a equação horária para a posição do motociclista em função do tempo.
(b) Determine a distância entre o motociclista e a borda do penhasco após
.
(a) Determine a equação horária para a posição do motociclista em função do tempo.
(b) Determine a distância entre o motociclista e a borda do penhasco após
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte.
- Dados fornecidos:
- No ponto exato da borda, a velocidade do motociclista é horizontal e tem módulo
. - Tomaremos um referencial apropriado com origem na borda do penhasco (isso será definido nos próximos passos).
- A aceleração da gravidade vale
(vertical para baixo).
- No ponto exato da borda, a velocidade do motociclista é horizontal e tem módulo
- Perguntas do enunciado:
- (a) Determinar a equação horária para a posição do motociclista em função do tempo.
- (b) Determinar a distância entre o motociclista e a borda do penhasco após
.
Passo 2
Escolha do referencial e definição das incógnitas (muito importante para não se perder).
- Vou colocar a origem do sistema de coordenadas na borda do penhasco: o ponto onde o motociclista sai é
. - Escolho o eixo
horizontal, positivo para a frente (na direção da velocidade inicial), e o eixo vertical, positivo para cima. Assim, quedas aparecem com . - Defino:
-
= posição horizontal no tempo . -
= posição vertical no tempo . -
= componente horizontal da velocidade inicial. -
= componente vertical da velocidade inicial. -
= módulo da aceleração da gravidade ( ), com sinal negativo na equação de porque escolhemos positivo para cima.
-
Passo 3
Equações gerais de movimento no referencial escolhido (aula rápida e prática).
- Para movimento sem aceleração na direção horizontal, a posição horizontal obedece à fórmula de movimento retilíneo uniforme:
- Aqui
é a posição inicial em (aqui ,), e é a velocidade horizontal inicial. - Para a direção vertical, onde há aceleração constante
, usamos a fórmula do movimento uniformemente acelerado:
- Aqui
é a posição inicial em (aqui ,), é a componente vertical inicial da velocidade, e o termo representa a queda devido à gravidade.
Explicação das variáveis nas fórmulas acima:
-
é o tempo decorrido desde o instante em que passa pela borda. -
é constante porque não há aceleração horizontal (desprezando resistência do ar). -
é a velocidade vertical inicial — como o enunciado diz que a velocidade é horizontal no ponto da borda, temos .
Passo 4
Aplicando as condições iniciais ao caso concreto e escrevendo as equações horárias pedidas.
- Das informações:
é horizontal, logo
e
.
- Substituindo em cada fórmula:
- Interpretação rápida: a cada segundo ele avança
horizontalmente; verticalmente ele cai seguindo , começando em zero.
Passo 5
Cálculo das posições no tempo
(passo a passo numérico).
- Primeiro calcule
:
- Agora calcule
: -
. -
. - Logo
-
- Ou seja, após
ele está abaixo da borda (por isso o sinal negativo).
Passo 6
Cálculo da distância entre o motociclista e a borda após
.
- A distância em relação à origem (a borda) é a norma do vetor posição
:
- Substituindo os valores encontrados:
-
-
- Soma:
- Raiz quadrada:
-
- Arredondando de forma razoável (duas casas decimais):
Resposta
(a)
(b)