Um motociclista salta para fora da borda de um penhasco. No ponto exato da borda, sua velocidade é horizontal e possui módulo igual a 9,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. A partir de um referencial apropriado, responda os itens a seguir:
(a) Determine a equação horária para a posição do motociclista em função do tempo.
(b) Determine a distância entre o motociclista e a borda do penhasco após 0,5 \mathrm{~s}.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte.
  • Dados fornecidos:
    • No ponto exato da borda, a velocidade do motociclista é horizontal e tem módulo \,v_{0}=9,0\\ \mathrm{m/s}\,.
    • Tomaremos um referencial apropriado com origem na borda do penhasco (isso será definido nos próximos passos).
    • A aceleração da gravidade vale \,g=9,8\\ \mathrm{m/s^{2}}\, (vertical para baixo).
  • Perguntas do enunciado:
    • (a) Determinar a equação horária para a posição do motociclista em função do tempo.
    • (b) Determinar a distância entre o motociclista e a borda do penhasco após \,0,5\\ \mathrm{s}\,.

Passo 2

Escolha do referencial e definição das incógnitas (muito importante para não se perder).
  • Vou colocar a origem do sistema de coordenadas na borda do penhasco: o ponto onde o motociclista sai é (x,y)=(0,0).
  • Escolho o eixo x horizontal, positivo para a frente (na direção da velocidade inicial), e o eixo y vertical, positivo para cima. Assim, quedas aparecem com y<0.
  • Defino:
    • \,x(t)\, = posição horizontal no tempo \,t.
    • \,y(t)\, = posição vertical no tempo \,t.
    • \,v_{0x}\, = componente horizontal da velocidade inicial.
    • \,v_{0y}\, = componente vertical da velocidade inicial.
    • \,g\, = módulo da aceleração da gravidade ( 9,8\\ \mathrm{m/s^{2}}), com sinal negativo na equação de y porque escolhemos y positivo para cima.

Passo 3

Equações gerais de movimento no referencial escolhido (aula rápida e prática).
  • Para movimento sem aceleração na direção horizontal, a posição horizontal obedece à fórmula de movimento retilíneo uniforme:
x(t)=x_{0}+v_{0x}\,t.
  • Aqui \,x_{0}\, é a posição inicial em x (aqui \,x_{0}=0,), e \,v_{0x}\, é a velocidade horizontal inicial.
  • Para a direção vertical, onde há aceleração constante -g, usamos a fórmula do movimento uniformemente acelerado:
y(t)=y_{0}+v_{0y}\,t-\tfrac{1}{2}g\,t^{2}.
  • Aqui \,y_{0}\, é a posição inicial em y (aqui \,y_{0}=0,), \,v_{0y}\, é a componente vertical inicial da velocidade, e o termo -\tfrac{1}{2}g\,t^{2} representa a queda devido à gravidade.
Explicação das variáveis nas fórmulas acima:
  • \,t\, é o tempo decorrido desde o instante em que passa pela borda.
  • \,v_{0x}\, é constante porque não há aceleração horizontal (desprezando resistência do ar).
  • \,v_{0y}\, é a velocidade vertical inicial — como o enunciado diz que a velocidade é horizontal no ponto da borda, temos \,v_{0y}=0.

Passo 4

Aplicando as condições iniciais ao caso concreto e escrevendo as equações horárias pedidas.
  • Das informações: \,v_{0}=9,0\\ \mathrm{m/s} é horizontal, logo
v_{0x}=9,0\\ \mathrm{m/s},\qquad v_{0y}=0\\ \mathrm{m/s},
e x_{0}=0,\;y_{0}=0.
  • Substituindo em cada fórmula:
x(t)=0 + 9,0\,t \quad\Rightarrow\quad x(t)=9,0\,t\quad(\mathrm{m}).
y(t)=0 + 0\cdot t - \tfrac{1}{2}\,9,8\,t^{2}\quad\Rightarrow\quad y(t)=-4,9\,t^{2}\quad(\mathrm{m}).
  • Interpretação rápida: a cada segundo ele avança 9,0\\ \mathrm{m} horizontalmente; verticalmente ele cai seguindo -4,9\,t^{2}, começando em zero.

Passo 5

Cálculo das posições no tempo \,t=0,5\\ \mathrm{s} (passo a passo numérico).
  • Primeiro calcule x(0,5):
x(0,5)=9,0\times 0,5=4,5\\ \mathrm{m}.
  • Agora calcule y(0,5):
    • (0,5)^{2}=0,25.
    • \tfrac{1}{2}g = 4,9.
    • Logo
y(0,5)=-4,9\times 0,25=-1,225\\ \mathrm{m}.
  • Ou seja, após 0,5\\ \mathrm{s} ele está 1,225\\ \mathrm{m} abaixo da borda (por isso o sinal negativo).

Passo 6

Cálculo da distância entre o motociclista e a borda após \,0,5\\ \mathrm{s}.
  • A distância em relação à origem (a borda) é a norma do vetor posição (x,y):
r(t)=\sqrt{x(t)^{2}+y(t)^{2}}.
  • Substituindo os valores encontrados:
    • x(0,5)=4,5\\ \mathrm{m}\Rightarrow x(0,5)^{2}=4,5^{2}=20,25.
    • y(0,5)=-1,225\\ \mathrm{m}\Rightarrow y(0,5)^{2}=1,225^{2}=1,500625.
    • Soma: 20,25+1,500625=21,750625.
    • Raiz quadrada:
r(0,5)=\sqrt{21,750625}\approx 4,663\\ \mathrm{m}.
  • Arredondando de forma razoável (duas casas decimais):
r(0,5)\approx 4,66\\ \mathrm{m}.

Resposta

(a) \displaystyle x(t)=9,0\,t\\ \mathrm{m},\qquad y(t)=-4,9\,t^{2}\\ \mathrm{m}.
(b) \displaystyle 4,66\\ \mathrm{m}.

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