Responda os itens a seguir:
A posição de uma partícula viajando pela galáxia é dada por x(t)=A t^{42}, onde A é uma constante e t é o tempo. Qual a dimensão de A ? Calcule a velocidade e a aceleração correspondentes.

Passo 1

O enunciado dá a posição de uma partícula em função do tempo:
x(t)=A\,t^{42},
onde A é uma constante e t é o tempo. As perguntas são:
  1. Qual a dimensão física de A?
  2. Calcule a velocidade correspondente v(t).
  3. Calcule a aceleração correspondente a(t).
Informações relevantes fornecidas: a expressão para x(t) acima. Nada mais numérico foi dado. Vou usar que x tem dimensão de comprimento e t de tempo, e que constantes numéricas (como 42) são adimensionais.

Passo 2

Determinar a dimensão de A por análise dimensional (essa é a ferramenta para achar unidades de constantes em equações). Escrevemos, em notação de dimensões, a igualdade entre dimensões de ambos os lados:
[x]=[A]\,[t^{42}].
Aqui [x] representa a dimensão da posição (comprimento) e [t] a dimensão do tempo. Usando [x]=\mathrm{L} e [t]=\mathrm{T}, temos
\mathrm{L} = [A]\,\mathrm{T}^{42}.
Isolando [A] obtemos
[A]=\mathrm{L}\,\mathrm{T}^{-42}.
Interpretação: a constante A tem dimensão de comprimento multiplicado por tempo elevado a -42. Em unidades SI, por exemplo, seria metro por segundo^{42}, isto é, \mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-42}.

Passo 3

Antes de derivar, vamos relembrar a regra de potência para derivadas — ela é o principal ingrediente aqui. A regra diz que, para n constante,
\frac{d}{dt}\bigl(t^n\bigr)=n\,t^{\,n-1}.
Explicação curta do porquê (intuitiva): aumentar a potência em t^n faz a função crescer como t elevado a algo; ao derivar, você “puxa” o expoente para frente (multiplica) e diminui o expoente em 1. Exemplos simples: \frac{d}{dt}(t^2)=2t, \frac{d}{dt}(t^3)=3t^2. Constantes multiplicativas (como A ou 42) ficam na frente da derivada porque são adimensionais e não dependem de t.

Passo 4

Calcular a velocidade definindo v(t)=\dfrac{dx}{dt}. Aplicando a regra de potência à função x(t)=A\,t^{42}:
v(t)=\frac{dx}{dt}=A\cdot\frac{d}{dt}\bigl(t^{42}\bigr)=A\cdot 42\,t^{41}.
Ou seja,
v(t)=42\,A\,t^{41}.
Cheque dimensional rápido: [v]=[A]\,[t]^{41}=(\mathrm{L}\,\mathrm{T}^{-42})\,\mathrm{T}^{41}=\mathrm{L}\,\mathrm{T}^{-1},
que é a dimensão correta de velocidade (comprimento por tempo).

Passo 5

Calcular a aceleração definindo a(t)=\dfrac{dv}{dt}. Derivamos a expressão de v(t):
a(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}\bigl(42\,A\,t^{41}\bigr)=42\,A\cdot\frac{d}{dt}\bigl(t^{41}\bigr)=42\,A\cdot 41\,t^{40}.
Multiplicando os números:
a(t)=42\cdot 41\,A\,t^{40}=1722\,A\,t^{40}.
Cheque dimensional: [a]=[A]\,[t]^{40}=(\mathrm{L}\,\mathrm{T}^{-42})\,\mathrm{T}^{40}=\mathrm{L}\,\mathrm{T}^{-2},
que é a dimensão correta de aceleração (comprimento por tempo ao quadrado).

Passo 6

Comentário prático e incentivo: se você trabalhar em unidades SI e quiser um exemplo numérico, escolha A com unidades \mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-42}. Por exemplo, se A=1\\ \mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-42}, então x(t)=t^{42}\\ \mathrm{m}, v(t)=42\,t^{41}\\ \mathrm{m/s} e a(t)=1722\,t^{40}\\ \mathrm{m/s^2}. Não precisa decorar nada além da análise dimensional e da regra de potência — com elas você resolve rápido esse tipo de problema na prova. Força, você vai conseguir!

Resposta

\displaystyle [A]=\mathrm{L}\,\mathrm{T}^{-42}
\displaystyle v(t)=42\,A\,t^{41}
\displaystyle a(t)=1722\,A\,t^{40}

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