Responda os itens a seguir:
A posição de uma partícula viajando pela galáxia é dada por
, onde
é uma constante e
é o tempo. Qual a dimensão de
? Calcule a velocidade e a aceleração correspondentes.
A posição de uma partícula viajando pela galáxia é dada por
Passo 1
O enunciado dá a posição de uma partícula em função do tempo:
onde
é uma constante e
é o tempo. As perguntas são:
- Qual a dimensão física de
? - Calcule a velocidade correspondente
. - Calcule a aceleração correspondente
.
Informações relevantes fornecidas: a expressão para
acima. Nada mais numérico foi dado. Vou usar que
tem dimensão de comprimento e
de tempo, e que constantes numéricas (como
) são adimensionais.
Passo 2
Determinar a dimensão de
por análise dimensional (essa é a ferramenta para achar unidades de constantes em equações). Escrevemos, em notação de dimensões, a igualdade entre dimensões de ambos os lados:
Aqui
representa a dimensão da posição (comprimento) e
a dimensão do tempo. Usando
e
, temos
Isolando
obtemos
Interpretação: a constante
tem dimensão de comprimento multiplicado por tempo elevado a
. Em unidades SI, por exemplo, seria metro por segundo^{42}, isto é,
.
Passo 3
Antes de derivar, vamos relembrar a regra de potência para derivadas — ela é o principal ingrediente aqui. A regra diz que, para
constante,
Explicação curta do porquê (intuitiva): aumentar a potência em
faz a função crescer como
elevado a algo; ao derivar, você “puxa” o expoente para frente (multiplica) e diminui o expoente em 1. Exemplos simples:
,
. Constantes multiplicativas (como
ou
) ficam na frente da derivada porque são adimensionais e não dependem de
.
Passo 4
Calcular a velocidade definindo
. Aplicando a regra de potência à função
:
Ou seja,
Cheque dimensional rápido:
que é a dimensão correta de velocidade (comprimento por tempo).
que é a dimensão correta de velocidade (comprimento por tempo).
Passo 5
Calcular a aceleração definindo
. Derivamos a expressão de
:
Multiplicando os números:
Cheque dimensional:
que é a dimensão correta de aceleração (comprimento por tempo ao quadrado).
que é a dimensão correta de aceleração (comprimento por tempo ao quadrado).
Passo 6
Comentário prático e incentivo: se você trabalhar em unidades SI e quiser um exemplo numérico, escolha
com unidades
. Por exemplo, se
, então
,
e
. Não precisa decorar nada além da análise dimensional e da regra de potência — com elas você resolve rápido esse tipo de problema na prova. Força, você vai conseguir!