Um motor gira a engrenagem A com aceleração angular alphaA= (4 t^3) rad / s^2, onde t o medido om segundos. Se esta engrenagem esta inicialmente girando com(omegaa)0=20 rad / s, determine a velocidade angular da engrenagem B quando t=2 s.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem um motor que está girando a engrenagem A com uma aceleração angular que depende do tempo: alphaA = 4 t^3 rad/s². Inicialmente, a velocidade angular dessa engrenagem é omegaA0 = 20 rad/s. O que a gente precisa descobrir é qual é a velocidade angular da engrenagem B quando t = 2 segundos.
Para resolver isso, vamos precisar entender de Cinemática Rotacional, que estuda como as coisas giram: aceleração angular, velocidade angular e suas relações no tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a aceleração angular alpha é a derivada da velocidade angular omega em relação ao tempo. Ou seja:
alpha = domegadt
Como a aceleração angular alphaA da engrenagem A é dada por 4 t^3, podemos integrar essa expressão em relação ao tempo para encontrar a velocidade angular omegaA dessa engrenagem em função do tempo.

Passo 3

Vamos integrar a aceleração angular para encontrar a velocidade angular:
omegaA(t) = integral alphaA , dt = integral 4 t^3 , dt
Integrando 4 t^3, temos:
omegaA(t) = 4 cdot t^44 + C = t^4 + C
Onde C é a constante de integração que precisamos determinar usando a condição inicial.

Passo 4

Sabemos que inicialmente, ou seja, quando t = 0, a velocidade angular omegaA é 20 rad/s. Vamos usar isso para encontrar C:
omegaA(0) = 0^4 + C = 20 Rightarrow C = 20
Então, a expressão da velocidade angular em função do tempo fica:
omegaA(t) = t^4 + 20

Passo 5

Agora, queremos saber qual é a velocidade angular da engrenagem B quando t = 2 segundos. No entanto, o enunciado não fornece informações sobre como as engrenagens A e B estão relacionadas. Geralmente, engrenagens conectadas têm velocidades angulares inversamente proporcionais aos seus diâmetros ou raios.
Vamos supor que as engrenagens A e B estão conectadas de forma que omegaA cdot rA = omegaB cdot rB, onde rA e rB são os raios das engrenagens. Sem informações sobre os raios, não podemos determinar uma relação específica, então vamos considerar que rA = rB, ou seja, omegaA = omegaB.

Passo 6

Usando a expressão de omegaA(t), vamos calcular omegaA quando t = 2 segundos:
omegaA(2) = (2)^4 + 20 = 16 + 20 = 36 , rad/s
Se considerarmos que omegaA = omegaB, então:
omegaB = 36 , rad/s

Resposta

A velocidade angular da engrenagem B quando t = 2 segundos é omegaB = 36 rad/s.

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