Um motor gira a engrenagem A com aceleração angular
, onde
o medido om segundos. Se esta engrenagem esta inicialmente girando
, determine a velocidade angular da engrenagem B quando
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem um motor que está girando a engrenagem A com uma aceleração angular que depende do tempo:
rad/s². Inicialmente, a velocidade angular dessa engrenagem é
rad/s. O que a gente precisa descobrir é qual é a velocidade angular da engrenagem B quando
segundos.
Para resolver isso, vamos precisar entender de Cinemática Rotacional, que estuda como as coisas giram: aceleração angular, velocidade angular e suas relações no tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a aceleração angular
é a derivada da velocidade angular
em relação ao tempo. Ou seja:
Como a aceleração angular
da engrenagem A é dada por
, podemos integrar essa expressão em relação ao tempo para encontrar a velocidade angular
dessa engrenagem em função do tempo.
Passo 3
Vamos integrar a aceleração angular para encontrar a velocidade angular:
Integrando
, temos:
Onde
é a constante de integração que precisamos determinar usando a condição inicial.
Passo 4
Sabemos que inicialmente, ou seja, quando
, a velocidade angular
é
rad/s. Vamos usar isso para encontrar
:
Então, a expressão da velocidade angular em função do tempo fica:
Passo 5
Agora, queremos saber qual é a velocidade angular da engrenagem B quando
segundos. No entanto, o enunciado não fornece informações sobre como as engrenagens A e B estão relacionadas. Geralmente, engrenagens conectadas têm velocidades angulares inversamente proporcionais aos seus diâmetros ou raios.
Vamos supor que as engrenagens A e B estão conectadas de forma que
, onde
e
são os raios das engrenagens. Sem informações sobre os raios, não podemos determinar uma relação específica, então vamos considerar que
, ou seja,
.
Passo 6
Usando a expressão de
, vamos calcular
quando
segundos:
Se considerarmos que
, então:
Resposta
A velocidade angular da engrenagem B quando
segundos é
rad/s.