Em cada caso, encontre pontos críticos
nos quais
e
; para através do Teste das derivadas parciais de
ordem, se possível, determinar se são: Máximos locais; mínimos locais; ou pontos de sela:
;
Passo 1
Estamos trabalhando com a função f(x,y)=1/(x²+y²+1). O objetivo é achar os pontos críticos (onde ∂f/∂x=0 e ∂f/∂y=0) e usar o teste das derivadas parciais de segunda ordem para classificar o ponto como máximo, mínimo ou sela.
Passo 2
Vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem. Usando g(x,y)=x²+y²+1 e f=g⁻¹, temos:
Passo 3
Agora impomos f_x=0 e f_y=0. Como o denominador nunca zera, a única solução é 2x=0 e 2y=0, ou seja x=0 e y=0. Logo, o único ponto crítico é (0,0).
Passo 4
Em seguida, calculamos as derivadas de segunda ordem. Mantendo g=x²+y²+1, temos:
Passo 5
Avaliar essas derivadas em (0,0) onde g=1: f_{xx}(0,0) = -2, f_{yy}(0,0) = -2, f_{xy}(0,0) = 0.
Passo 6
Calculamos o discriminante D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2 = (-2)·(-2) - 0 = 4 > 0. Como f_{xx}(0,0)<0, temos um máximo local em (0,0).
Resposta
O único ponto crítico é (0,0), que é um máximo local.