Em cada caso, encontre pontos críticos (x0, y0) nos quais fx(x0, y0) = 0 e Fy(x0, y0) = 0; para através do Teste das derivadas parciais de 2^a ordem, se possível, determinar se são: Máximos locais; mínimos locais; ou pontos de sela:
f(x, y)=1x^2+y^2+1;

Passo 1

Estamos trabalhando com a função f(x,y)=1/(x²+y²+1). O objetivo é achar os pontos críticos (onde ∂f/∂x=0 e ∂f/∂y=0) e usar o teste das derivadas parciais de segunda ordem para classificar o ponto como máximo, mínimo ou sela.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem. Usando g(x,y)=x²+y²+1 e f=g⁻¹, temos:
fx = partialpartial xl(g^-1r) = -1cdot g^-2cdot(2x) = -2x(x^2+y^2+1)^2
fy = -2y(x^2+y^2+1)^2

Passo 3

Agora impomos f_x=0 e f_y=0. Como o denominador nunca zera, a única solução é 2x=0 e 2y=0, ou seja x=0 e y=0. Logo, o único ponto crítico é (0,0).

Passo 4

Em seguida, calculamos as derivadas de segunda ordem. Mantendo g=x²+y²+1, temos:
fxx = partialpartial xl(-2xg^2r) = -2,g^-2 +8x^2,g^-3
fyy = -2,g^-2 +8y^2,g^-3
fxy = partialpartial yl(-2xg^2r) = 8xy,g^-3

Passo 5

Avaliar essas derivadas em (0,0) onde g=1: f_{xx}(0,0) = -2, f_{yy}(0,0) = -2, f_{xy}(0,0) = 0.

Passo 6

Calculamos o discriminante D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2 = (-2)·(-2) - 0 = 4 > 0. Como f_{xx}(0,0)<0, temos um máximo local em (0,0).

Resposta

O único ponto crítico é (0,0), que é um máximo local.

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