Em cada caso, encontre pontos críticos
nos quais
e
; para através do Teste das derivadas parciais de
ordem, se possível, determinar se são: Máximos locais; mínimos locais; ou pontos de sela:
;
Passo 1
Temos a função
. O objetivo é achar os pontos críticos (onde
e
) e usar o teste de derivadas parciais de 2ª ordem para classificar cada ponto como máximo local, mínimo local ou ponto de sela. Vamos precisar calcular
,
, resolver o sistema
, e depois obter
,
e
.
Passo 2
Derivadas parciais de 1ª ordem:
Passo 3
Para achar os pontos críticos, resolvemos o sistema
Da primeira equação
segue
ou seja
. Substituindo em
:
portanto
.
O ponto crítico obtido é .
O ponto crítico obtido é
Passo 4
Derivadas parciais de 2ª ordem:
Passo 5
Avaliando em
: temos
e
, logo
O discriminante do Hessiano é
portanto o ponto é um ponto de sela.
Resposta
O único ponto crítico é (\tfrac12,\tfrac12), e ele é um ponto de sela.