Em cada caso, encontre pontos críticos (x0, y0) nos quais fx(x0, y0) = 0 e Fy(x0, y0) = 0; para através do Teste das derivadas parciais de 2^a ordem, se possível, determinar se são: Máximos locais; mínimos locais; ou pontos de sela:
f(x, y)=e^x+y-x e^2 y;

Passo 1

Temos a função f(x,y)=e^x+y-x e^2y. O objetivo é achar os pontos críticos (onde fx=0 e fy=0) e usar o teste de derivadas parciais de 2ª ordem para classificar cada ponto como máximo local, mínimo local ou ponto de sela. Vamos precisar calcular fx, fy, resolver o sistema fx=0, fy=0, e depois obter fxx, fyy e fxy.

Passo 2

Derivadas parciais de 1ª ordem:
fx = partialpartial xl(e^x+y-x e^2yr)=e^x+y-e^2y
fy = partialpartial yl(e^x+y-x e^2yr)=e^x+y-2x e^2y

Passo 3

Para achar os pontos críticos, resolvemos o sistema
fx=0 fy=0
Da primeira equação e^x+y=e^2y segue x+y=2y ou seja x=y. Substituindo em fy=0:
e^2y-2y e^2y=0implies e^2y(1-2y)=0implies y=tfrac12,
portanto x=tfrac12.
O ponto crítico obtido é (x0,y0)=(tfrac12,tfrac12).

Passo 4

Derivadas parciais de 2ª ordem:
fxx=partialpartial x(e^x+y-e^2y)=e^x+y
fyy=partialpartial y(e^x+y-2x e^2y)=e^x+y-4x e^2y
fxy=partialpartial y(e^x+y-e^2y)=e^x+y-2 e^2y

Passo 5

Avaliando em (tfrac12,tfrac12): temos e^x+y=e e e^2y=e, logo
fxx=e, fyy=e-4cdottfrac12,e=-e, fxy=e-2e=-e
O discriminante do Hessiano é
D=fxxfyy-(fxy)^2=ecdot(-e)-(-e)^2=-2e^2<0,
portanto o ponto é um ponto de sela.

Resposta

O único ponto crítico é (\tfrac12,\tfrac12), e ele é um ponto de sela.

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