Um motor de induçào trifásico é uma carga equilibrada constituída de 3 indutâncias que podem ser conectadas em estrela ou triângulo. Sabendo que ele pode se conectado a uma fonte trifásica, onde o valor das tensões entre linhas é de 220 V e qu cada reatância indutiva é igual a 4,5 ohms, pede-se:
Calcular a potência aparente trifásica para essa ligação;

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz esta pergunta.
  • Informações fornecidas:
    • Tensão entre linhas (tensão de linha) da fonte trifásica: \;V_{L}=220\\ \text{V}.
    • Cada impedância de fase é uma reatância indutiva (balanceada) de valor \;X_{L}=4{,}5\\ \Omega.
    • A carga é equilibrada (três indutâncias idênticas) e pode ser conectada em estrela (Y) ou em triângulo (Δ).
  • Pergunta:
    • Calcular a potência aparente trifásica para essa ligação. (Como o enunciado menciona as duas ligações possíveis, vamos calcular a potência aparente para ambas: estrela e triângulo.)

Passo 2

Conceitos básicos e fórmulas que vamos usar (explicação didática leve).
  • Potência aparente trifásica total S (unidade: VA) para carga equilibrada pode ser escrita de duas formas equivalentes:
    • Usando tensões e correntes de linha: S = \sqrt{3}\;V_{L}\;I_{L},onde \;V_{L} é a tensão entre linhas e \;I_{L} é a corrente de linha.
    • Usando soma das potências de fases: S = 3\;V_{\text{fase}}\;I_{\text{fase}},onde \;V_{\text{fase}} e \;I_{\text{fase}} são tensão e corrente em cada fase (respectivamente).
  • Para carga puramente indutiva (reatância \;X_{L}) em cada fase, a relação entre a tensão de fase e a corrente de fase é: I_{\text{fase}}=\frac{V_{\text{fase}}}{X_{L}}.
  • Relações entre tensões e correntes em estrela (Y) e triângulo (Δ) numa carga equilibrada:
    • Estrela (Y): \;V_{\text{fase}}=\dfrac{V_{L}}{\sqrt{3}} e \;I_{L}=I_{\text{fase}}.
    • Triângulo (Δ): \;V_{\text{fase}}=V_{L} e \;I_{L}=\sqrt{3}\;I_{\text{fase}}.
Vou usar essas fórmulas para deduzir S em cada ligação.

Passo 3

Cálculo para ligação em estrela (Y) — dedução algébrica.
  • Tensão de fase: V_{\text{fase}}=\frac{V_{L}}{\sqrt{3}}=\frac{220}{\sqrt{3}}\\ \text{V}.
  • Corrente de fase (e de linha, pois em Y I_{L}=I_{\text{fase}}): I_{\text{fase}}=\frac{V_{\text{fase}}}{X_{L}}=\frac{V_{L}/\sqrt{3}}{X_{L}}=\frac{V_{L}}{\sqrt{3}\,X_{L}}.
  • Potência aparente total usando S=3\,V_{\text{fase}}\,I_{\text{fase}}: S_{Y}=3\left(\frac{V_{L}}{\sqrt{3}}\right)\left(\frac{V_{L}}{\sqrt{3}\,X_{L}}\right).Simplificando: S_{Y}=3\frac{V_{L}^{2}}{3\,X_{L}}=\frac{V_{L}^{2}}{X_{L}}.Esta simplificação é bonita: para carga equilibrada puramente reativa em estrela, a potência aparente total fica \;V_{L}^{2}/X_{L}.

Passo 4

Cálculo numérico para estrela com os dados fornecidos.
  • Substituindo \;V_{L}=220\\ \text{V} e \;X_{L}=4{,}5\\ \Omega: S_{Y}=\frac{220^{2}}{4{,}5}=\frac{48400}{4{,}5}=10755{,}5\overline{5}\\ \text{VA}.
  • Arredondando para duas casas decimais: S_{Y}\approx 10755{,}56\\ \text{VA}\approx 10{,}76\\ \text{kVA}.

Passo 5

Cálculo para ligação em triângulo (Δ) — dedução algébrica.
  • Em triângulo, a tensão de fase é igual à tensão de linha: V_{\text{fase}}=V_{L}.
  • Corrente de fase: I_{\text{fase}}=\frac{V_{\text{fase}}}{X_{L}}=\frac{V_{L}}{X_{L}}.
  • Potência aparente total: S_{\Delta}=3\,V_{\text{fase}}\,I_{\text{fase}}=3\,V_{L}\left(\frac{V_{L}}{X_{L}}\right)=\frac{3\,V_{L}^{2}}{X_{L}}.Observação: comparando com estrela, vemos que S_{\Delta}=3\,S_{Y} (porque em Δ cada fase “vê” a tensão completa V_{L}).

Passo 6

Cálculo numérico para triângulo com os dados fornecidos.
  • Substituindo os valores: S_{\Delta}=\frac{3\cdot 220^{2}}{4{,}5}=\frac{3\cdot 48400}{4{,}5}=32266{,}6\overline{6}\\ \text{VA}.
  • Arredondando: S_{\Delta}\approx 32266{,}67\\ \text{VA}\approx 32{,}27\\ \text{kVA}.

Passo 7

Cálculo rápido das correntes (útil para prova e entendimento), só para fixar:
  • Em estrela: I_{L}=I_{\text{fase}}=\frac{V_{L}}{\sqrt{3}\,X_{L}}=\frac{220}{\sqrt{3}\cdot 4{,}5}\approx 28{,}24\\ \text{A}.
  • Em triângulo: I_{\text{fase}}=\frac{V_{L}}{X_{L}}=\frac{220}{4{,}5}\approx 48{,}89\\ \text{A},e a corrente de linha é I_{L}=\sqrt{3}\,I_{\text{fase}}\approx 1{,}732\cdot 48{,}89\approx 84{,}72\\ \text{A}.

Resposta

Estrela (Y): S_{Y}=10755{,}56\\ \text{VA} (aprox. 10{,}76\\ \text{kVA}).
Triângulo (Δ): S_{\Delta}=32266{,}67\\ \text{VA} (aprox. 32{,}27\\ \text{kVA}).

Exercícios relacionados